Toán lớp 9 – Phần hình học – ôn tập chương II
Bài Tập 41 Trang 128 SGK
Đề bài
Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K).
b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC
d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.
Bài giải
Câu a)
IO = OB – IB => (I) tiếp xúc trong với (O).
OK = OC – KC => (K) tiếp xúc trong với (O)
IK = OH + KH => (I) tiếp xúc ngoài với (K)
Câu b)
Tứ giác AEHF có:
Nên tứ giác trên là hình chữ nhật.
Câu c)
Câu d)
Gọi G là giao điểm của AH và EF nên tứ giác AEHF là hình chữ nhật => AH = EF.
Do đó EF là tiếp tuyến của đường tròn (I), EF là tiếp tuyến của đường tròn (K).
Câu e)
Ta có: EF = AH ≤ OA (OA có độ dài không đổi)
Do đó EF lớn nhất khi AH = OA <=> H trùng O hay dây AD đi qua O.
Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.
Bài Tập 42 Trang 128 SGK
Đề bài
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b) ME.MO = MF.MO’
c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC
d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính OO’
Bài giải
Câu a)
Theo để bài ta có MA và MB là các tiếp tuyến của (O).
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
MA = MB
MO là tia phân giác của góc AMB ΔAMB cân tại M (MA = MB)
Mà có MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao.
Lập luận tương tự như trên ta có MO’ là tia phân giác của góc AMC
Đồng thời góc MFA = 90º.
MO, MO’ là tia phân giác của hai góc kề bù AMB và AMC nên góc EMF = 90º.
=> Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông).
Câu b)
(Áp dụng kiến thức hệ thức lượng trong tam giác vuông.)
Câu c)
Đường tròn có đường kính BC có tâm M, bán kính MA.OO’ vuông góc với MA tại A nên là tiếp tuyến của đường tròn (M).
Câu d)
Gọi I là trung điểm của OO’, I là tâm của đường tròn có đường kính OO’, IM là bán kính (vì MI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của MOO’.
IM là đường trung bình của hình thang OBCO’
Nên IM // OB // O’C. Do đó IM ⊥ BC.
BC vuông góc với IM tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn (I).
Bài Tập 43 Trang 128 SGK
Đề bài
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và B (R > r). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt các đường tròn (O; R) và (O’; r) theo thứ tự C và D (khác A).
a) Chứng minh rằng AC = AD.
b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB.
Bài giải
Câu a)
Kẻ đoạn thẳng OM ⊥ AD.
Theo tính chất đường kính vuông góc với một dây ta có:
MA = MC
Tương tự, kẻ O’N ⊥ AD => NA = ND.
Vậy tứ giác OMNO’ là hình thang vuông.
Ta còn có: IO = IO’ (gt) và IA // OM
Do đó IA là đường trung bình của hình thang OMNO’.
=> AM = AN hay 2AM = 2AN Hay AC = CD.
Câu b)
Ta có OO’ là đường nối tâm của (O) và (O’) nên OO’ là đường trung trực của AB.
Suy ra IE ⊥ AB và EA = EB.
Ta lại có IA = IK (do K là điểm đối xứng của A qua I).
Nên IE là đường trung bình của tam giác AKB.
Suy ra IE // KB
Mà IE ⊥ AB Suy ra KB ⊥ AB.
Bài giải toán lớp 9 còn lại trong chương II – phần hình học
Bài 8: Vị trí tương đối của hai đường tròn – Tiếp theo
Chương III – Phần đại số – tập 2
Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
