Công thức lượng giác đầy đủ nhất (kèm mẹo nhớ & bảng giá trị)

Công thức lượng giác ở chương trình phổ thông gồm 6 nhóm chính: hệ thức cơ bản, giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt, công thức cộng, công thức nhân đôi – nhân ba, công thức hạ bậc và công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng. Chỉ cần nắm chắc hệ thức cơ bản và công thức cộng, bạn có thể tự suy ra gần như mọi công thức còn lại.

Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Đây là bảng nền tảng, gần như bài nào cũng dùng. Kí hiệu “||” nghĩa là giá trị không xác định.

Góc (độ)	Radian	sin	cos	tan	cot
0°	0	0	1	0	||
30°	π/6	1/2	√3/2	√3/3	√3
45°	π/4	√2/2	√2/2	1	1
60°	π/3	√3/2	1/2	√3	√3/3
90°	π/2	1	0	||	0
120°	2π/3	√3/2	−1/2	−√3	−√3/3
135°	3π/4	√2/2	−√2/2	−1	−1
150°	5π/6	1/2	−√3/2	−√3/3	−√3
180°	π	0	−1	0	||

Mẹo nhớ sin từ 0° đến 90°: viết dãy √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 rồi rút gọn, ta được 0; 1/2; √2/2; √3/2; 1. Cột cos chính là cột sin viết theo thứ tự ngược lại.

Hệ thức lượng giác cơ bản

• sin²α + cos²α = 1
• tan α = sin α / cos α (cos α ≠ 0); cot α = cos α / sin α (sin α ≠ 0)
• tan α · cot α = 1
• 1 + tan²α = 1/cos²α; 1 + cot²α = 1/sin²α

Với mọi α và mọi số nguyên k: sin(α + k2π) = sin α, cos(α + k2π) = cos α, tan(α + kπ) = tan α, cot(α + kπ) = cot α.

Giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt

Mẹo nhớ quen thuộc: “cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém π thì tan, cot”.

• Cung đối (α và −α): cos(−α) = cos α; sin(−α) = −sin α; tan(−α) = −tan α.
• Cung bù (α và π − α): sin(π − α) = sin α; cos(π − α) = −cos α; tan(π − α) = −tan α.
• Cung phụ (α và π/2 − α): sin(π/2 − α) = cos α; cos(π/2 − α) = sin α; tan(π/2 − α) = cot α.
• Hơn kém π: tan(π + α) = tan α; cot(π + α) = cot α; sin(π + α) = −sin α; cos(π + α) = −cos α.

Bảng tổng hợp các nhóm công thức lượng giác

Nhóm	Công thức
Công thức cộng	cos(a ± b) = cos a·cos b ∓ sin a·sin b sin(a ± b) = sin a·cos b ± cos a·sin b tan(a ± b) = (tan a ± tan b) / (1 ∓ tan a·tan b)
Nhân đôi	sin 2a = 2sin a·cos a cos 2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a tan 2a = 2tan a / (1 − tan²a)
Nhân ba	sin 3a = 3sin a − 4sin³a cos 3a = 4cos³a − 3cos a
Hạ bậc	sin²a = (1 − cos 2a)/2 cos²a = (1 + cos 2a)/2 tan²a = (1 − cos 2a)/(1 + cos 2a)
Tổng thành tích	cos a + cos b = 2cos((a + b)/2)·cos((a − b)/2) cos a − cos b = −2sin((a + b)/2)·sin((a − b)/2) sin a + sin b = 2sin((a + b)/2)·cos((a − b)/2) sin a − sin b = 2cos((a + b)/2)·sin((a − b)/2)
Tích thành tổng	cos a·cos b = ½[cos(a − b) + cos(a + b)] sin a·sin b = ½[cos(a − b) − cos(a + b)] sin a·cos b = ½[sin(a − b) + sin(a + b)]

Mẹo nhớ nhanh từng nhóm công thức

• Công thức cộng: “sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin, dấu đổi”. Nghĩa là công thức sin giữ nguyên dấu của phép cộng/trừ, còn công thức cos thì đổi dấu.
• Nhân đôi: chỉ là công thức cộng với b = a. Ví dụ sin 2a = sin(a + a) = 2sin a·cos a.
• Hạ bậc: suy trực tiếp từ cos 2a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a, không cần học thuộc riêng.
• Tổng thành tích: “cos cộng cos bằng hai cos cos, cos trừ cos bằng trừ hai sin sin, sin cộng sin bằng hai sin cos, sin trừ sin bằng hai cos sin”.

Khi biến đổi biểu thức, rất hay phải đổi dấu cả cụm như cos(a − b) hay −(1 − cos 2a); bạn có thể ôn lại quy tắc đổi dấu trong biểu thức để tránh sai dấu.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Tính sin 75° không dùng máy tính

Ta có 75° = 45° + 30°. Áp dụng công thức cộng:

sin 75° = sin 45°·cos 30° + cos 45°·sin 30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4 ≈ 0,966.

Ví dụ 2: Tính sin 2α, cos 2α

Cho sin α = 3/5 và 0 < α < π/2. Tính sin 2α và cos 2α.

1. Vì α thuộc góc phần tư thứ nhất nên cos α > 0. Từ sin²α + cos²α = 1 suy ra cos²α = 1 − 9/25 = 16/25, nên cos α = 4/5.
2. sin 2α = 2sin α·cos α = 2 · 3/5 · 4/5 = 24/25.
3. cos 2α = 1 − 2sin²α = 1 − 2 · 9/25 = 7/25.

Kiểm tra: (24/25)² + (7/25)² = (576 + 49)/625 = 1, đúng với hệ thức cơ bản.

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức

Rút gọn A = sin 2x / (1 + cos 2x) với cos x ≠ 0.

Ta có sin 2x = 2sin x·cos x và 1 + cos 2x = 2cos²x. Do đó A = 2sin x·cos x / (2cos²x) = sin x / cos x = tan x.

Ứng dụng của công thức lượng giác

Công thức lượng giác không chỉ dùng trong chương lượng giác lớp 10, 11 mà còn xuất hiện ở nhiều phần khác:

• Giải phương trình lượng giác và khảo sát các hàm số y = sin x, y = cos x, y = tan x.
• Hệ thức lượng trong tam giác: định lý cosin a² = b² + c² − 2bc·cos A và định lý sin a/sin A = 2R, trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
• Vật lý: dao động điều hòa, sóng cơ, dòng điện xoay chiều đều mô tả bằng hàm sin, cos.

Sai lầm thường gặp

• Nhầm dấu trong công thức cos(a + b): đúng là cos a·cos b trừ sin a·sin b.
• Viết sin 2a = 2sin a. Sai, vì sin 2a = 2sin a·cos a.
• Quên điều kiện xác định: tan x cần cos x ≠ 0, cot x cần sin x ≠ 0.
• Để máy tính sai chế độ: tính theo độ phải chọn chế độ Deg, theo radian chọn Rad.
• Lấy căn mà quên xét dấu: từ cos²α tìm cos α phải dựa vào góc phần tư chứa α.

Câu hỏi thường gặp

Có bao nhiêu nhóm công thức lượng giác cần học?

Có 6 nhóm chính: hệ thức cơ bản, cung liên quan đặc biệt, công thức cộng, nhân đôi – nhân ba, hạ bậc, biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng.

sin 30° bằng bao nhiêu?

sin 30° = 1/2 = 0,5. Tương tự cos 60° = 1/2 vì 30° và 60° là hai góc phụ nhau.

Đổi từ độ sang radian thế nào?

Dùng quan hệ 180° = π rad. Muốn đổi a độ sang radian, lấy a nhân π rồi chia 180. Ví dụ 60° = 60π/180 = π/3.

Công thức lượng giác nào quan trọng nhất?

Hệ thức sin²α + cos²α = 1 và công thức cộng. Từ hai nhóm này có thể suy ra công thức nhân đôi, hạ bậc và biến đổi tổng – tích.