Các trường hợp bằng nhau của tam giác và cách chứng minh

Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau. Để chứng minh 2 tam giác bằng nhau, ta chỉ cần chỉ ra một trong ba trường hợp: cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c), cạnh – góc – cạnh (c.g.c) hoặc góc – cạnh – góc (g.c.g). Ba góc bằng nhau chỉ cho kết luận hai tam giác đồng dạng, không phải bằng nhau.

Định nghĩa hai tam giác bằng nhau

Tam giác ABC bằng tam giác A′B′C′ (viết ΔABC = ΔA′B′C′) khi:

• AB = A′B′, BC = B′C′, AC = A′C′;
• góc A = góc A′, góc B = góc B′, góc C = góc C′.

Khi viết ký hiệu bằng nhau, thứ tự các đỉnh phải tương ứng. Viết ΔABC = ΔA′B′C′ nghĩa là A ứng với A′, B ứng với B′, C ứng với C′. Viết lộn thứ tự là sai đề.

Ba trường hợp bằng nhau của tam giác

Trường hợp	Điều kiện cần chỉ ra	Lưu ý
Cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)	Ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia	Thường dùng khi bài cho trung điểm hoặc các cạnh bằng nhau
Cạnh – góc – cạnh (c.g.c)	Hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó bằng nhau	Góc phải là góc xen giữa, không được lấy góc khác
Góc – cạnh – góc (g.c.g)	Một cạnh và hai góc kề cạnh đó bằng nhau	Cạnh phải là cạnh kề cả hai góc được dùng

Các trường hợp riêng cho tam giác vuông

Vì hai tam giác vuông đã có sẵn một cặp góc 90° bằng nhau nên chỉ cần thêm hai yếu tố:

• Hai cạnh góc vuông bằng nhau (đây là c.g.c).
• Một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy bằng nhau (g.c.g).
• Cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau.
• Cạnh huyền và một cạnh góc vuông bằng nhau. Trường hợp này chứng minh được nhờ định lý Pitago: khi cạnh huyền và một cạnh góc vuông bằng nhau thì cạnh góc vuông còn lại cũng bằng nhau.

Hai điều kiện không đủ để kết luận

• Ba góc bằng nhau (g.g.g): chỉ suy ra hai tam giác đồng dạng. Hai tam giác đều cạnh 2 cm và cạnh 5 cm có ba góc đều bằng 60° nhưng rõ ràng không bằng nhau. Nội dung này thuộc bài các trường hợp đồng dạng của tam giác.
• Cạnh – cạnh – góc không xen giữa: hai cạnh bằng nhau cùng một góc không nằm giữa chúng vẫn có thể cho hai tam giác khác nhau. Ngoại lệ duy nhất là tam giác vuông với cặp cạnh huyền – cạnh góc vuông.

Các bước trình bày một bài chứng minh

1. Nêu rõ hai tam giác sẽ xét, ví dụ “Xét ΔABM và ΔACM”.
2. Liệt kê các yếu tố bằng nhau theo từng dòng, mỗi dòng ghi lý do: giả thiết, cạnh chung, góc đối đỉnh, tính chất tia phân giác…
3. Kết luận theo trường hợp đã dùng: “Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c)”.
4. Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra các cặp cạnh hoặc góc tương ứng mà đề bài cần.

Khi bài có hai đường thẳng cắt nhau, cặp góc đối đỉnh thường là yếu tố cho sẵn rất tiện, bạn xem thêm bài hai góc đối đỉnh là gì.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1 (dùng c.c.c). Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ΔABM = ΔACM và AM ⊥ BC.

1. Xét ΔABM và ΔACM: AB = AC (giả thiết); BM = CM (M là trung điểm BC); AM là cạnh chung.
2. Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c).
3. Suy ra góc AMB = góc AMC. Mà hai góc này kề bù nên mỗi góc bằng 180° ÷ 2 = 90°.
4. Do đó AM ⊥ BC. Đoạn AM chính là đường trung tuyến và đồng thời là đường cao của tam giác cân ABC.

Ví dụ 2 (dùng c.g.c). Cho góc xOy, tia Oz là tia phân giác. Trên Ox lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Lấy điểm C bất kỳ trên Oz. Chứng minh CA = CB.

1. Xét ΔOAC và ΔOBC: OA = OB (giả thiết); góc AOC = góc BOC (Oz là tia phân giác); OC là cạnh chung.
2. Góc AOC và góc BOC chính là góc xen giữa hai cặp cạnh vừa nêu, nên ΔOAC = ΔOBC (c.g.c).
3. Suy ra CA = CB (hai cạnh tương ứng). Nói cách khác, C nằm trên đường trung trực của đoạn AB.

Ví dụ 3 (dùng g.c.g). Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm. Qua O kẻ đường thẳng d cắt hai đường thẳng song song đi qua A và B lần lượt tại C và D. Chứng minh OC = OD.

1. Xét ΔOAC và ΔOBD: OA = OB (O là trung điểm AB); góc AOC = góc BOD (hai góc đối đỉnh); góc OAC = góc OBD (hai góc so le trong của hai đường thẳng song song).
2. Cạnh OA kề hai góc AOC và OAC, cạnh OB kề hai góc BOD và OBD, nên ΔOAC = ΔOBD (g.c.g).
3. Suy ra OC = OD (hai cạnh tương ứng).

Lỗi thường gặp

• Dùng góc không xen giữa trong trường hợp c.g.c.
• Kết luận hai tam giác bằng nhau từ ba cặp góc bằng nhau.
• Viết ký hiệu sai thứ tự đỉnh, làm cho các cặp cạnh suy ra bị lệch.
• Quên nêu lý do cho từng yếu tố, bài sẽ bị trừ điểm dù kết quả đúng.
• Dựng hình với ba cạnh không thỏa bất đẳng thức tam giác, khi đó tam giác không tồn tại.

Câu hỏi thường gặp

Có mấy trường hợp bằng nhau của tam giác?

Có ba trường hợp chính: cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c), cạnh – góc – cạnh (c.g.c) và góc – cạnh – góc (g.c.g). Riêng tam giác vuông có thêm các trường hợp dùng cạnh huyền.

Ba góc bằng nhau thì hai tam giác có bằng nhau không?

Không. Ba góc bằng nhau chỉ cho kết luận hai tam giác đồng dạng. Hai tam giác đều có cạnh khác nhau vẫn có ba góc bằng 60°.

Trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông áp dụng khi nào?

Chỉ áp dụng cho hai tam giác vuông. Khi cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác này bằng với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau.

Vì sao trong c.g.c góc phải là góc xen giữa?

Vì góc xen giữa quyết định khoảng cách giữa hai đầu còn lại của hai cạnh. Nếu lấy góc khác, có thể dựng được hai tam giác khác nhau cùng thỏa dữ kiện.