Diện tích tam giác vuông: công thức và ví dụ minh hoạ

Diện tích tam giác vuông bằng một nửa tích hai cạnh góc vuông: S = ½ × a × b (a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, cùng đơn vị đo).

Công thức tính diện tích tam giác vuông

Tam giác vuông là tam giác có một góc 90°. Hai cạnh kề góc vuông gọi là cạnh góc vuông, cạnh đối diện góc vuông là cạnh huyền. Vì hai cạnh góc vuông vuông góc với nhau, cạnh này chính là đường cao ứng với cạnh kia, nên áp dụng công thức chung "đáy × chiều cao ÷ 2":

• S = ½ × a × b (a, b: hai cạnh góc vuông)
• Hoặc S = ½ × c × h (c: cạnh huyền, h: đường cao hạ từ đỉnh góc vuông)
• Tam giác vuông cân cạnh góc vuông a: S = a² ÷ 2

Lý do chia đôi: ghép hai tam giác vuông bằng nhau theo cạnh huyền sẽ được hình chữ nhật a × b, nên mỗi tam giác có diện tích bằng nửa. Xem lại diện tích hình chữ nhật nếu cần.

Công thức liên quan

Đại lượng	Công thức	Ghi chú
Diện tích	S = ½ab	a, b là hai cạnh góc vuông
Cạnh huyền	c = √(a² + b²)	Định lý Py-ta-go
Chu vi	P = a + b + c	Tổng ba cạnh
Đường cao ứng cạnh huyền	h = ab ÷ c	Từ S = ½ab = ½ch

Định lý Py-ta-go được trình bày kỹ trong bài định lý Py-ta-go.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 6 cm và 8 cm. Tính diện tích.

Lời giải: S = ½ × 6 × 8 = 24 cm².

Ví dụ 2. Tam giác vuông có cạnh huyền 13 cm, một cạnh góc vuông 5 cm. Tính diện tích.

Lời giải: Cạnh góc vuông còn lại b = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 cm. Vậy S = ½ × 5 × 12 = 30 cm².

Ví dụ 3. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 6 cm, 8 cm. Tính đường cao hạ từ đỉnh góc vuông.

Lời giải: Cạnh huyền c = √(36 + 64) = 10 cm. Đường cao h = (6 × 8) ÷ 10 = 4,8 cm. Kiểm tra: ½ × 10 × 4,8 = 24 cm², khớp với ví dụ 1.

Ví dụ 4. Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông 10 cm. Tính diện tích.

Lời giải: S = 10² ÷ 2 = 50 cm².

Ví dụ 5 (lớp 9). Tam giác vuông có cạnh huyền 10 cm, một góc nhọn 30°. Tính diện tích.

Lời giải: Cạnh đối góc 30° là 10 × sin 30° = 5 cm; cạnh kề là 10 × cos 30° = 5√3 cm. S = ½ × 5 × 5√3 = 25√3 ÷ 2 ≈ 21,65 cm². Công thức này dùng hệ thức cạnh và góc trong tam giác vuông.

Bài tập tự luyện

1. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 9 cm và 12 cm. Tính diện tích và cạnh huyền. (Đáp số: S = ½ × 9 × 12 = 54 cm²; c = √(81 + 144) = 15 cm)
2. Tam giác vuông có cạnh huyền 17 cm, một cạnh góc vuông 8 cm. Tính diện tích. (Cạnh còn lại = √(289 − 64) = 15 cm; S = ½ × 8 × 15 = 60 cm²)
3. Tam giác vuông cân có diện tích 18 cm². Tính cạnh góc vuông. (a² ÷ 2 = 18 nên a² = 36, a = 6 cm)

Lưu ý khi làm bài

• Chỉ nhân hai cạnh góc vuông, không nhân với cạnh huyền (trừ khi dùng đường cao tương ứng).
• Đổi các cạnh về cùng đơn vị trước khi tính; kết quả ghi đơn vị vuông.
• Tam giác vuông là trường hợp riêng của tam giác; công thức chung xem ở bài diện tích tam giác.

Câu hỏi thường gặp

Diện tích tam giác vuông tính thế nào?

Lấy tích hai cạnh góc vuông rồi chia 2: S = ½ab.

Không có đủ hai cạnh góc vuông thì sao?

Nếu biết cạnh huyền và một cạnh góc vuông, dùng Py-ta-go tìm cạnh còn lại. Nếu biết cạnh huyền và góc nhọn, dùng sin, cos.

Tam giác vuông có dùng công thức Heron được không?

Được, nhưng không cần thiết vì S = ½ab nhanh và đơn giản hơn.

Diện tích tam giác vuông cân tính thế nào?

S = a² ÷ 2 với a là cạnh góc vuông.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán 8 và Toán 9 – Chương trình giáo dục phổ thông (Bộ Giáo dục và Đào tạo)