Tích phân là gì? Công thức, tính chất và ví dụ chi tiết

Tích phân của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] bằng F(b) − F(a), trong đó F là một nguyên hàm của f. Công thức Newton–Leibniz: ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).

Tích phân là gì?

Tích phân xác định đo “diện tích có dấu” giữa đồ thị y = f(x) và trục Ox trên đoạn [a; b]. Khi f(x) ≥ 0 trên đoạn đó, giá trị tích phân chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục Ox và hai đường x = a, x = b. Muốn tính tích phân, trước hết cần biết tìm nguyên hàm, xem nguyên hàm và bảng nguyên hàm.

Công thức và tính chất của tích phân

Nội dung	Công thức
Newton–Leibniz	∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
Đổi cận	∫ab f(x) dx = − ∫ba f(x) dx
Cận trùng nhau	∫aa f(x) dx = 0
Hằng số nhân ra ngoài	∫ k·f(x) dx = k ∫ f(x) dx
Tổng, hiệu	∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
Chia đoạn	∫ab f = ∫ac f + ∫cb f
Đổi biến (u = u(x))	∫ab f(u(x)) u′(x) dx = ∫u(a)u(b) f(u) du
Từng phần	∫ab u dv = [uv]ab − ∫ab v du

Hàm f cần liên tục trên [a; b] để áp dụng các công thức trên. Mối quan hệ ngược với phép tính đạo hàm: F′(x) = f(x).

Cách tính tích phân cơ bản

1. Tìm một nguyên hàm F(x) của f(x).
2. Thay cận: tính F(b) và F(a).
3. Lấy F(b) − F(a).

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tính ∫₀² (3x² + 2x) dx.

Nguyên hàm F(x) = x³ + x². F(2) = 8 + 4 = 12, F(0) = 0. Kết quả 12.

Ví dụ 2. Tính ∫₁^e (1/x) dx.

Nguyên hàm là ln|x|. Giá trị = ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1.

Ví dụ 3. Tính ∫₀^π/2 cos x dx = [sin x]₀^π/2 = 1 − 0 = 1.

Ví dụ 4. Tính ∫₀¹ e^x dx = e − 1 ≈ 1,718.

Ví dụ 5 (đổi biến). Tính ∫₀¹ 2x(x² + 1)³ dx.

Đặt u = x² + 1, du = 2x dx. Đổi cận: x = 0 thì u = 1; x = 1 thì u = 2. Khi đó tích phân = ∫₁² u³ du = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 15/4.

Ví dụ 6 (từng phần). Tính ∫₀¹ x·e^x dx.

Đặt u = x, dv = e^x dx thì du = dx, v = e^x. Tích phân = [x·e^x]₀¹ − ∫₀¹ e^x dx = e − (e − 1) = 1.

Ví dụ 7 (diện tích). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x², trục Ox, x = 0 và x = 3 là ∫₀³ x² dx = [x³/3]₀³ = 9.

Lưu ý khi tính

• Khi đổi biến, phải đổi cả cận (hoặc quay về biến x rồi mới thay cận cũ).
• Khi f(x) đổi dấu trên [a; b], diện tích là ∫|f(x)| dx, không phải ∫f(x) dx.
• Tích phân xác định là một số; nguyên hàm là một họ hàm số có hằng số C.

Câu hỏi thường gặp

Tích phân khác nguyên hàm ở điểm nào?

Nguyên hàm là họ hàm F(x) + C, còn tích phân xác định là một số thực tính bằng F(b) − F(a).

Tích phân có luôn dương không?

Không. Nếu f(x) âm trên đoạn đang xét thì tích phân có thể âm hoặc bằng 0.

Khi nào dùng đổi biến, khi nào dùng từng phần?

Đổi biến khi trong biểu thức có hàm hợp cùng đạo hàm của phần trong; từng phần khi là tích của hai loại hàm khác nhau như x·e^x, x·sin x, x·ln x.

Tích phân dùng để làm gì?

Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay, quãng đường từ vận tốc và nhiều đại lượng khác trong vật lý.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán, chương trình GDPT 2018 (Bộ Giáo dục và Đào tạo)