Các trường hợp đồng dạng của tam giác (c.c.c, c.g.c, g.g)

Hai tam giác đồng dạng khi thỏa một trong ba trường hợp: cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c): ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ; cạnh – góc – cạnh (c.g.c): hai cặp cạnh tỉ lệ và góc xen giữa bằng nhau; góc – góc (g.g): hai cặp góc tương ứng bằng nhau.

Thế nào là hai tam giác đồng dạng?

Tam giác A’B’C’ được gọi là đồng dạng với tam giác ABC, kí hiệu ΔA’B’C’ ∽ ΔABC, nếu:

• Các góc tương ứng bằng nhau: Â’ = Â, B̂’ = B̂, Ĉ’ = Ĉ.
• Các cạnh tương ứng tỉ lệ: A’B’/AB = B’C’/BC = C’A’/CA = k.

Số k gọi là tỉ số đồng dạng. Nói một cách trực quan, hai tam giác đồng dạng có cùng hình dạng nhưng có thể khác kích thước, giống như một tấm ảnh được phóng to hay thu nhỏ.

Lưu ý: khi viết kí hiệu, các đỉnh tương ứng phải viết theo đúng thứ tự. ΔA’B’C’ ∽ ΔABC nghĩa là A’ ứng với A, B’ ứng với B, C’ ứng với C.

Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường

Trường hợp	Điều kiện	Kết luận
Cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)	A’B’/AB = B’C’/BC = C’A’/CA	ΔA’B’C’ ∽ ΔABC
Cạnh – góc – cạnh (c.g.c)	A’B’/AB = A’C’/AC và Â’ = Â	ΔA’B’C’ ∽ ΔABC
Góc – góc (g.g)	Â’ = Â và B̂’ = B̂	ΔA’B’C’ ∽ ΔABC

Trường hợp góc – góc chỉ cần hai cặp góc, vì tổng ba góc trong tam giác bằng 180° nên cặp góc thứ ba tự động bằng nhau. Trong ba trường hợp đồng dạng, g.g thường được dùng nhiều nhất trong các bài chứng minh.

Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Với hai tam giác vuông, điều kiện còn đơn giản hơn:

1. Có một cặp góc nhọn bằng nhau.
2. Hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia.
3. Cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia.

Tính chất của hai tam giác đồng dạng

Nếu ΔA’B’C’ ∽ ΔABC theo tỉ số k thì:

• Tỉ số hai chu vi bằng k.
• Tỉ số hai đường cao, hai đường trung tuyến, hai đường phân giác tương ứng đều bằng k.
• Tỉ số hai diện tích bằng k². Ví dụ k = 1,5 thì diện tích tam giác lớn gấp 1,5² = 2,25 lần.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1 (c.c.c): Tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 6 cm, CA = 8 cm; tam giác DEF có DE = 6 cm, EF = 9 cm, FD = 12 cm. Chứng minh hai tam giác đồng dạng.

1. Lập tỉ số: DE/AB = 6/4 = 1,5; EF/BC = 9/6 = 1,5; FD/CA = 12/8 = 1,5.
2. Ba tỉ số bằng nhau nên ΔDEF ∽ ΔABC (c.c.c) với tỉ số k = 1,5.

Ví dụ 2 (c.g.c): Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm, BC = 12 cm. Lấy D trên AB, E trên AC sao cho AD = 4 cm, AE = 6 cm. Tính DE.

1. AD/AB = 4/6 = 2/3; AE/AC = 6/9 = 2/3.
2. Hai tam giác có chung góc A, nên ΔADE ∽ ΔABC (c.g.c) với tỉ số 2/3.
3. DE/BC = 2/3, suy ra DE = 12 · 2/3 = 8 (cm).

Ví dụ 3 (g.g): Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 6 cm, BC = 10 cm. Tính BH.

1. Xét ΔHBA và ΔABC: chung góc B; góc AHB = góc CAB = 90°.
2. Suy ra ΔHBA ∽ ΔABC (g.g), nên HB/AB = AB/BC, tức AB² = BH · BC.
3. BH = AB² : BC = 36 : 10 = 3,6 (cm).

Ví dụ 4 (ứng dụng thực tế): Một cây gậy cao 1,5 m dựng thẳng đứng có bóng dài 2 m. Cùng lúc, bóng của một cái cây dài 12 m. Tính chiều cao cây.

1. Tia nắng tạo với mặt đất cùng một góc, gậy và cây đều vuông góc với mặt đất, nên hai tam giác vuông đồng dạng (g.g).
2. Chiều cao cây / 1,5 = 12 / 2 = 6.
3. Chiều cao cây = 1,5 · 6 = 9 (m).

Liên hệ với định lý Talet

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác ban đầu. Đây là hệ quả trực tiếp của định lý Talet. Vì vậy, khi đề bài cho hai đường thẳng song song, bạn nên nghĩ ngay tới tam giác đồng dạng. Các tỉ số cạnh bằng nhau thực chất là những tỉ lệ thức, nên kỹ năng nhân chéo rất quan trọng.

Sai lầm thường gặp

Khi áp dụng các trường hợp đồng dạng, học sinh hay mắc những lỗi sau:

• Viết sai thứ tự đỉnh: dẫn đến lập tỉ số các cạnh không tương ứng.
• Dùng c.g.c với góc không xen giữa: góc bằng nhau phải là góc tạo bởi hai cặp cạnh tỉ lệ.
• Nhầm với tam giác bằng nhau: đồng dạng chỉ yêu cầu cạnh tỉ lệ, còn bằng nhau yêu cầu cạnh bằng nhau (k = 1).
• Cho rằng tỉ số diện tích bằng k: thực tế bằng k².

Câu hỏi thường gặp

Có mấy trường hợp đồng dạng của tam giác?

Có 3 trường hợp đồng dạng với tam giác thường: cạnh – cạnh – cạnh, cạnh – góc – cạnh và góc – góc.

Hai tam giác bằng nhau có đồng dạng không?

Có. Hai tam giác bằng nhau là trường hợp đặc biệt của đồng dạng với tỉ số k = 1.

Hai tam giác đều có luôn đồng dạng không?

Có. Mọi tam giác đều có ba góc bằng 60°, nên hai tam giác đều bất kỳ luôn đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bằng bao nhiêu?

Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng, tức k².