Đường trung tuyến là gì? Tính chất đường trung tuyến trong tam giác

Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến, chúng cùng đi qua một điểm là trọng tâm G, và G cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

Thế nào là đường trung tuyến của tam giác?

Để hình dung thế nào là đường trung tuyến, xét tam giác ABC, gọi M là trung điểm của cạnh BC (MB = MC). Đoạn thẳng AM được gọi là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, hay đường trung tuyến ứng với cạnh BC.

Tương tự, nếu N là trung điểm AC và P là trung điểm AB thì BN và CP cũng là các đường trung tuyến. Như vậy, trả lời câu hỏi đường trung tuyến là gì rất ngắn gọn: nó luôn đi qua một đỉnh và trung điểm cạnh đối diện với đỉnh đó.

Đôi khi người ta gọi cả đường thẳng AM là đường trung tuyến, nhưng trong chương trình lớp 7 thường hiểu là đoạn thẳng AM.

Cách vẽ đường trung tuyến

1. Dùng thước có chia vạch đo độ dài cạnh BC, đánh dấu điểm M ở chính giữa (hoặc dựng trung điểm bằng compa).
2. Nối đỉnh A với điểm M. Đoạn AM là đường trung tuyến cần vẽ.
3. Làm tương tự với hai cạnh còn lại để được đủ 3 đường trung tuyến.

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác

• Tính chất 1 (đồng quy): Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm, gọi là trọng tâm G. Trọng tâm luôn nằm bên trong tam giác.
• Tính chất 2 (tỉ lệ 2/3): AG = (2/3)AM, BG = (2/3)BN, CG = (2/3)CP. Từ đó suy ra GM = (1/3)AM và AG = 2GM.
• Tính chất 3: Mỗi đường trung tuyến chia tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau (cùng chiều cao, đáy bằng nhau).
• Tam giác vuông: Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
• Tam giác cân, tam giác đều: Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao, đường phân giác và đường trung trực của cạnh đáy.

Công thức độ dài đường trung tuyến

Ở lớp 10, với tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, độ dài trung tuyến m_a xuất phát từ A được tính theo công thức:

m_a² = (2b² + 2c² − a²)/4

Tương tự: m_b² = (2a² + 2c² − b²)/4 và m_c² = (2a² + 2b² − c²)/4.

Trong mặt phẳng tọa độ, trọng tâm G của tam giác có tọa độ là trung bình cộng tọa độ ba đỉnh: x_G = (x_A + x_B + x_C)/3, y_G = (y_A + y_B + y_C)/3.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = 9 cm, G là trọng tâm. Tính AG và GM.

1. AG = (2/3) · 9 = 6 (cm).
2. GM = AM − AG = 9 − 6 = 3 (cm). Kiểm tra: AG = 2GM (6 = 2 · 3).

Ví dụ 2: Cho G là trọng tâm tam giác ABC, BN là trung tuyến và GN = 2 cm. Tính BG và BN.

1. GN = (1/3)BN nên BN = 3 · 2 = 6 (cm).
2. BG = BN − GN = 6 − 2 = 4 (cm).

Ví dụ 3: Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính trung tuyến AM.

1. Theo định lý Pythagore: BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, nên BC = 10 cm.
2. Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền: AM = 10 : 2 = 5 (cm).

Ví dụ 4: Tam giác ABC có BC = a = 6, CA = b = 5, AB = c = 5. Tính m_a.

1. m_a² = (2 · 25 + 2 · 25 − 36)/4 = (50 + 50 − 36)/4 = 64/4 = 16.
2. m_a = √16 = 4.
3. Kiểm tra: tam giác cân tại A nên trung tuyến AM cũng là đường cao, AM = √(5² − 3²) = √16 = 4 (khớp).

Ví dụ 5: Cho A(1; 2), B(3; −1), C(5; 5). Tìm tọa độ trọng tâm G.

x_G = (1 + 3 + 5)/3 = 3; y_G = (2 − 1 + 5)/3 = 2. Vậy G(3; 2).

So sánh 4 đường đặc biệt trong tam giác

Đường	Định nghĩa ngắn	Giao điểm	Tính chất giao điểm
Trung tuyến	Nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện	Trọng tâm G	Cách mỗi đỉnh 2/3 trung tuyến
Phân giác	Chia đôi góc của tam giác	Tâm đường tròn nội tiếp	Cách đều ba cạnh
Trung trực	Vuông góc với cạnh tại trung điểm	Tâm đường tròn ngoại tiếp	Cách đều ba đỉnh
Đường cao	Từ đỉnh vuông góc với cạnh đối diện	Trực tâm H	Có thể nằm ngoài tam giác

Bạn có thể đọc thêm về đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác để thấy rõ sự khác nhau giữa các giao điểm này.

Ứng dụng của đường trung tuyến

• Trọng tâm G là điểm cân bằng của một tấm bìa hình tam giác đồng chất: đặt đầu bút tại G, tấm bìa sẽ thăng bằng.
• Đường trung tuyến hay được dùng để chứng minh hai tam giác bằng nhau, tính độ dài, và kết hợp với định lý Talet hoặc tam giác đồng dạng trong các bài hình lớp 8, 9.

Sai lầm thường gặp

Khi đã hiểu thế nào là đường trung tuyến, học sinh vẫn hay mắc các lỗi sau:

• Nhầm với đường trung trực: trung trực vuông góc với cạnh tại trung điểm và không nhất thiết đi qua đỉnh; trung tuyến luôn đi qua đỉnh nhưng không nhất thiết vuông góc.
• Nhầm tỉ lệ: 2/3 được tính từ đỉnh đến trọng tâm, còn đoạn từ trọng tâm đến trung điểm chỉ bằng 1/3.
• Áp dụng sai tính chất nửa cạnh huyền cho tam giác không vuông.

Câu hỏi thường gặp

Một tam giác có mấy đường trung tuyến?

Mỗi tam giác có đúng 3 đường trung tuyến, xuất phát từ 3 đỉnh, và chúng cắt nhau tại trọng tâm.

Trọng tâm tam giác chia đường trung tuyến theo tỉ lệ nào?

Trọng tâm chia mỗi trung tuyến thành hai đoạn theo tỉ lệ 2 : 1, đoạn dài hơn nằm về phía đỉnh.

Đường trung tuyến trong tam giác vuông có tính chất gì đặc biệt?

Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, và trung điểm cạnh huyền cách đều ba đỉnh tam giác.

Khi nào đường trung tuyến đồng thời là đường cao?

Khi tam giác cân tại đỉnh xuất phát của trung tuyến; khi đó trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường cao, phân giác và trung trực.