Thể tích khối chóp: công thức V = ⅓Sh và ví dụ có lời giải

Thể tích khối chóp V = ¹⁄₃ · S · h, trong đó S là diện tích mặt đáy và h là chiều cao (khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy). Công thức đúng cho mọi khối chóp, dù đáy là tam giác, tứ giác hay đa giác bất kỳ.

Công thức thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp bằng một phần ba tích của diện tích đáy và chiều cao. Hai đại lượng cần chú ý:

• S: diện tích đa giác đáy (đơn vị cm², m²…).
• h: độ dài đường cao hạ từ đỉnh vuông góc xuống mặt phẳng đáy, không phải độ dài cạnh bên.

Kết quả có đơn vị thể tích (cm³, m³…). So với khối lăng trụ có cùng đáy và chiều cao (V = S · h), khối chóp chỉ bằng một phần ba. Nếu đáy là hình tròn thì ta có hình nón, xem thêm thể tích hình trụ và thể tích hình cầu để so sánh.

Bảng công thức theo từng loại chóp

Loại khối chóp	Diện tích đáy S	Thể tích V
Đáy là tam giác	S = ½ · a · ha (xem diện tích tam giác)	V = ⅓ · S · h
Đáy là hình vuông cạnh a	S = a²	V = ⅓ · a² · h
Đáy là hình chữ nhật a × b	S = a · b	V = ⅓ · a · b · h
Chóp tam giác đều, cạnh đáy a	S = a²√3 ⁄ 4	V = a²√3 · h ⁄ 12
Chóp cụt (hai đáy S1, S2)	S1, S2	V = h⁄3 · (S1 + S2 + √(S1S2))

Cách tính thể tích khối chóp từng bước

1. Xác định mặt đáy và tính diện tích S.
2. Xác định chiều cao h: với chóp đều, chân đường cao là tâm của đáy; với chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, chiều cao chính là cạnh bên đó.
3. Thay vào V = ⅓ · S · h và ghi đơn vị.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy 6 cm, chiều cao 4 cm. Tính thể tích.

Đáy là hình vuông: S = 6² = 36 cm². V = ⅓ · 36 · 4 = 48 cm³.

Ví dụ 2. Chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 6, tam giác ABC vuông tại B với AB = 3, BC = 4. Tính V.

Diện tích đáy S = ½ · 3 · 4 = 6. Chiều cao h = SA = 6. V = ⅓ · 6 · 6 = 12 (đơn vị thể tích).

Ví dụ 3. Chóp tam giác đều có cạnh đáy 6 cm, chiều cao 5 cm.

S = 6² · √3 ⁄ 4 = 9√3 cm². V = ⅓ · 9√3 · 5 = 15√3 ≈ 25,98 cm³.

Ví dụ 4 (chóp cụt). Đáy lớn là hình vuông cạnh 6, đáy nhỏ cạnh 3, chiều cao 4.

S₁ = 36, S₂ = 9, √(S₁S₂) = 18. V = 4⁄3 · (36 + 9 + 18) = 4⁄3 · 63 = 84.

Tỉ số thể tích khối chóp tam giác

Cho chóp S.ABC, lấy M, N, P lần lượt trên các cạnh SA, SB, SC. Khi đó V_S.MNP ⁄ V_S.ABC = (SM⁄SA) · (SN⁄SB) · (SP⁄SC). Ví dụ SM⁄SA = ½, SN⁄SB = ⅓ và P trùng C (SP⁄SC = 1) thì tỉ số là ½ · ⅓ · 1 = 1⁄6. Công thức này chỉ dùng cho chóp tam giác, vì đỉnh S chung và ba cạnh xuất phát từ S.

Lưu ý khi làm bài

• Đừng nhầm chiều cao khối chóp với đường cao của mặt bên (trung đoạn).
• Quên hệ số ⅓ là lỗi phổ biến nhất.
• Đổi các độ dài về cùng đơn vị trước khi tính.
• Với đáy là tam giác vuông, tam giác đều, hình thoi… hãy dùng đúng công thức diện tích đáy, ví dụ diện tích tam giác đều hoặc diện tích hình thoi.

Câu hỏi thường gặp

Thể tích khối chóp bằng bao nhiêu thể tích lăng trụ?

Với cùng diện tích đáy và chiều cao, thể tích khối chóp bằng một phần ba thể tích khối lăng trụ.

Chiều cao khối chóp là gì?

Là khoảng cách từ đỉnh chóp đến mặt phẳng chứa đáy, đo theo đường vuông góc với đáy.

Có công thức riêng cho chóp tứ giác đều không?

Có thể viết gọn V = ⅓ · a² · h với a là cạnh đáy, h là chiều cao, vì đáy là hình vuông.

Đơn vị thể tích khối chóp là gì?

Là đơn vị độ dài mũ ba như cm³, dm³, m³. 1 m³ = 1.000 dm³ = 1.000.000 cm³.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán, chương trình GDPT 2018 (Bộ Giáo dục và Đào tạo)