Định lý Pitago là gì? Công thức Pitago và định lý đảo

Định lý Pitago phát biểu: trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông. Với tam giác ABC vuông tại A, công thức Pitago là BC² = AB² + AC². Định lý chỉ đúng cho tam giác vuông, không áp dụng cho tam giác thường.

Phát biểu và cách nhớ công thức Pitago

Trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc vuông là cạnh huyền và luôn là cạnh dài nhất; hai cạnh còn lại gọi là cạnh góc vuông.

Nếu ký hiệu hai cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c thì công thức Pitago viết gọn là:

c² = a² + b²

Từ đó suy ra ba cách dùng:

• Tìm cạnh huyền: c = √(a² + b²)
• Tìm cạnh góc vuông: a = √(c² − b²)
• Kiểm tra một tam giác có vuông hay không (định lý đảo).

Định lý Pitago đảo

Định lý đảo phát biểu: nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông, và góc vuông nằm đối diện cạnh lớn nhất.

Đây là một trong những cách chứng minh tam giác vuông gọn nhất khi bài toán cho sẵn độ dài ba cạnh. Các cách khác dựa trên quan hệ giữa các tam giác, bạn có thể xem thêm bài các trường hợp bằng nhau của tam giác và cách chứng minh.

Bộ ba Pitago thường dùng

Bộ ba Pitago là ba số nguyên dương thỏa mãn c² = a² + b². Học sinh nên nhớ vài bộ cơ bản để tính nhanh:

Bộ ba	Kiểm tra	Bội số thường gặp
3 – 4 – 5	3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²	6–8–10; 9–12–15; 15–20–25
5 – 12 – 13	25 + 144 = 169 = 13²	10–24–26
8 – 15 – 17	64 + 225 = 289 = 17²	16–30–34
7 – 24 – 25	49 + 576 = 625 = 25²	14–48–50
9 – 40 – 41	81 + 1.600 = 1.681 = 41²	18–80–82
20 – 21 – 29	400 + 441 = 841 = 29²	40–42–58

Ví dụ có lời giải từng bước

Ví dụ 1. Tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính BC.

1. Áp dụng định lý Pitago: BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
2. Vậy BC = √100 = 10 cm.

Ví dụ 2. Tam giác MNP vuông tại M, cạnh huyền NP = 13 cm, MN = 5 cm. Tính MP.

1. Từ NP² = MN² + MP², suy ra MP² = NP² − MN² = 169 − 25 = 144.
2. Vậy MP = √144 = 12 cm.

Ví dụ 3 (dùng định lý đảo). Tam giác có ba cạnh 9 cm, 12 cm, 15 cm có vuông không?

1. Cạnh lớn nhất là 15 cm nên xét 15² = 225.
2. Tổng bình phương hai cạnh kia: 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
3. Hai kết quả bằng nhau nên tam giác vuông, góc vuông đối diện cạnh 15 cm.

Ví dụ 4 (trường hợp không vuông). Tam giác có ba cạnh 6 cm, 8 cm, 11 cm.

1. Cạnh lớn nhất: 11² = 121.
2. Tổng bình phương hai cạnh kia: 36 + 64 = 100.
3. Vì 121 ≠ 100 nên tam giác không vuông. Hơn nữa 121 > 100 nên góc đối diện cạnh 11 cm là góc tù.

Ví dụ 5 (bài toán thực tế). Một cái thang dài 5 m dựng vào tường, chân thang cách tường 3 m. Thang chạm tường ở độ cao bao nhiêu?

1. Thang, tường và mặt đất tạo thành tam giác vuông, thang là cạnh huyền.
2. Chiều cao h = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4 m.

Ứng dụng của công thức Pitago

• Đường chéo hình chữ nhật: hình chữ nhật 3 m × 4 m có đường chéo √(9 + 16) = 5 m. Với hình vuông cạnh a, đường chéo là a√2, xem thêm bài công thức tính diện tích, chu vi hình vuông.
• Đường cao tam giác đều: tam giác đều cạnh a có đường cao bằng (a√3) ÷ 2. Với a = 6 cm, đường cao là 3√3 ≈ 5,20 cm.
• Kiểm tra góc vuông khi xây dựng: thợ xây đo 3 đơn vị trên một cạnh, 4 đơn vị trên cạnh kia, nếu đoạn nối hai điểm đúng 5 đơn vị thì góc đó vuông.
• Tính kích thước màn hình: tivi 55 inch tỉ lệ 16:9 có chiều ngang khoảng 47,9 inch (≈ 121,8 cm) và chiều cao khoảng 27 inch (≈ 68,5 cm), tính bằng cách đặt hai cạnh là 16k và 9k rồi dùng định lý Pitago.
• Khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng tọa độ: với A(1; 2) và B(4; 6) thì AB = √(3² + 4²) = 5.
• Định lý Pitago cũng là nền tảng để xây dựng tỉ số lượng giác của góc nhọn ở lớp 9.

Sai lầm thường gặp

• Dùng cho tam giác không vuông: đây là lỗi phổ biến nhất. Với tam giác thường, phải dùng định lý côsin.
• Nhầm cạnh huyền: luôn xác định góc vuông trước, cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông và là cạnh dài nhất.
• Cộng độ dài thay vì cộng bình phương: viết c = a + b là sai; với 3 và 4 thì cạnh huyền là 5, không phải 7.
• Quên khai căn: tính được c² = 100 rồi kết luận c = 100.
• Bỏ qua điều kiện tồn tại tam giác: ba cạnh phải thỏa mãn bất đẳng thức tam giác trước khi xét có vuông hay không.

Câu hỏi thường gặp

Công thức Pitago viết thế nào?

Với tam giác ABC vuông tại A: BC² = AB² + AC². Dạng tổng quát là c² = a² + b², trong đó c là cạnh huyền.

Định lý Pitago dùng cho tam giác thường được không?

Không. Định lý chỉ đúng với tam giác vuông. Tam giác thường phải dùng định lý côsin, trong đó định lý Pitago là trường hợp đặc biệt khi góc xét bằng 90°.

Làm sao biết một tam giác có vuông hay không?

Lấy bình phương cạnh dài nhất rồi so với tổng bình phương hai cạnh còn lại. Nếu bằng nhau thì tam giác vuông, theo định lý Pitago đảo.

Bộ ba Pitago là gì?

Là ba số nguyên dương thỏa mãn c² = a² + b², ví dụ 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17. Nhân cả ba số với cùng một số nguyên dương ta lại được một bộ ba Pitago mới.