Bất đẳng thức tam giác là gì? Phát biểu và ví dụ

Trả lời nhanh: trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Mỗi tam giác cho 3 bất đẳng thức dạng tổng, kèm 3 hệ quả dạng hiệu, nên có thể nói tam giác có 3 bất đẳng thức tam giác cơ bản.

Phát biểu bất đẳng thức tam giác

Cho tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c. Ta luôn có:

• a < b + c
• b < a + c
• c < a + b

Hệ quả (dạng hiệu): hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại, tức |b − c| < a, |a − c| < b, |a − b| < c.

Gộp hai dạng lại ta được đánh giá kép rất tiện dùng: |b − c| < a < b + c.

Vì sao bất đẳng thức này đúng?

Có thể hiểu trực quan: đoạn thẳng là đường ngắn nhất nối hai điểm. Đi từ B tới C theo đường thẳng BC luôn ngắn hơn đi vòng qua A, tức ngắn hơn BA + AC. Nếu tổng hai cạnh bằng đúng cạnh thứ ba thì ba điểm thẳng hàng và không còn tam giác nữa, nên dấu bằng không xảy ra.

Bảng kiểm tra ba độ dài

Ba độ dài (cm)	Phép thử	Kết luận
3; 4; 5	3 + 4 = 7 > 5	Lập thành tam giác
2; 3; 6	2 + 3 = 5 < 6	Không lập thành tam giác
5; 5; 10	5 + 5 = 10, không lớn hơn 10	Không, ba điểm thẳng hàng
7; 10; 15	7 + 10 = 17 > 15	Lập thành tam giác
1; 2; 4	1 + 2 = 3 < 4	Không lập thành tam giác

Mẹo làm nhanh: chỉ cần so tổng hai cạnh ngắn với cạnh dài nhất, vì hai bất đẳng thức còn lại tự động đúng.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tam giác có hai cạnh dài 1 cm và 7 cm, cạnh thứ ba là một số nguyên xăng-ti-mét. Tìm cạnh thứ ba.

1. Gọi cạnh thứ ba là x. Theo bất đẳng thức tam giác: 7 − 1 < x < 7 + 1, tức 6 < x < 8.
2. Vì x là số nguyên nên x = 7 cm.
3. Kiểm tra: 1 + 7 = 8 > 7 và 7 + 7 = 14 > 1, thỏa mãn.

Ví dụ 2. Hai cạnh của tam giác là 2 cm và 5 cm. Cạnh thứ ba nhận giá trị nguyên nào?

1. Ta có 5 − 2 < x < 5 + 2, tức 3 < x < 7.
2. Vậy x ∈ {4; 5; 6} cm.

Ví dụ 3. Chứng tỏ không có tam giác nào có ba cạnh 2 cm, 3 cm, 6 cm. Vì 2 + 3 = 5 < 6 nên vi phạm bất đẳng thức tam giác, không tồn tại tam giác như vậy.

Ứng dụng

• Kiểm tra số liệu đề bài trước khi vẽ hình hoặc tính toán, tránh làm cả bài trên dữ kiện vô nghĩa.
• Tìm khoảng giá trị của một cạnh hoặc chu vi tam giác.
• Giải thích đường đi ngắn nhất trong các bài toán thực tế về khoảng cách.

Lỗi thường gặp

• Chỉ thử một bất đẳng thức rồi kết luận. Nếu không so với cạnh dài nhất, phép thử không có giá trị.
• Viết dấu ≤ thay vì dấu <, dẫn tới nhận cả trường hợp ba điểm thẳng hàng.
• Nhầm chiều hệ quả: phải là hiệu nhỏ hơn cạnh còn lại, không phải lớn hơn.
• Quên điều kiện cạnh phải là số dương khi tìm khoảng giá trị.

Xem thêm: định lý Pitago, đường trung tuyến trong tam giác và các trường hợp bằng nhau của tam giác.

Câu hỏi thường gặp

Một tam giác có bao nhiêu bất đẳng thức tam giác?

Mỗi tam giác cho 3 bất đẳng thức dạng tổng: a < b + c, b < a + c, c < a + b. Kèm theo đó là 3 bất đẳng thức dạng hiệu suy ra từ chúng, ví dụ |b − c| < a, nên nhiều sách gộp lại thành 6 bất đẳng thức.

Bất đẳng thức tam giác phát biểu thế nào?

Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Hệ quả: hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

Ba độ dài 2 cm, 3 cm, 6 cm có là ba cạnh của một tam giác không?

Không. Vì 2 + 3 = 5 nhỏ hơn 6, tức tổng hai cạnh nhỏ không lớn hơn cạnh lớn nhất, nên không vẽ được tam giác với ba độ dài này.

Cách kiểm tra nhanh ba độ dài có lập thành tam giác?

Chỉ cần so sánh tổng hai cạnh ngắn với cạnh dài nhất. Nếu tổng hai cạnh ngắn lớn hơn cạnh dài nhất thì ba độ dài đó lập thành tam giác, không cần thử cả ba bất đẳng thức.

Tổng hai cạnh bằng đúng cạnh thứ ba thì sao?

Khi đó ba điểm thẳng hàng nên không có tam giác. Bất đẳng thức tam giác là dấu bé thực sự, không có dấu bằng.