Đường trung trực là gì? Tính chất và cách vẽ đường trung trực

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó. Tính chất quan trọng nhất: mọi điểm nằm trên đường trung trực đều cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng, và ngược lại.

Đường trung trực là gì? Định nghĩa chi tiết

Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với AB được gọi là đường trung trực của đoạn AB. Để trả lời đầy đủ câu hỏi đường trung trực là gì, bạn cần nhớ đủ hai điều kiện:

• Đi qua trung điểm I của AB (IA = IB);
• Vuông góc với AB.

Thiếu một trong hai điều kiện thì không phải đường trung trực. Ví dụ, đường thẳng qua trung điểm nhưng không vuông góc chỉ là một đường thẳng bất kỳ; còn đường vuông góc với AB nhưng không qua trung điểm cũng không phải.

Khi d là trung trực của AB, ta còn nói A và B đối xứng với nhau qua d.

Tính chất của đường trung trực

Định lý thuận

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Nếu M thuộc trung trực của AB thì MA = MB.

Định lý đảo

Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. Nếu MA = MB thì M thuộc trung trực của AB.

Nhận xét

Gộp hai định lý, ta có: tập hợp các điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng AB chính là đường trung trực của AB. Đây là công cụ rất hay dùng để chứng minh một đường thẳng là trung trực: chỉ cần chỉ ra hai điểm phân biệt cùng cách đều A và B.

Ba đường trung trực trong tam giác

Đường trung trực của tam giác là đường trung trực của mỗi cạnh. Một tam giác có ba đường trung trực và chúng cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đều ba đỉnh và là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Trong tam giác cân tại A, đường trung trực của cạnh đáy BC đồng thời là đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác xuất phát từ A.

Loại đường trong tam giác	Định nghĩa ngắn	Điểm đồng quy
Đường trung trực	Vuông góc với cạnh tại trung điểm	Tâm đường tròn ngoại tiếp (cách đều 3 đỉnh)
Đường trung tuyến	Nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện	Trọng tâm
Đường phân giác	Chia góc thành hai góc bằng nhau	Tâm đường tròn nội tiếp (cách đều 3 cạnh)
Đường cao	Từ đỉnh vuông góc với cạnh đối diện	Trực tâm

Cách vẽ đường trung trực

Cách 1: Dùng thước thẳng và compa

1. Mở compa một khoảng lớn hơn một nửa độ dài AB.
2. Đặt mũi nhọn tại A, vẽ một cung tròn cắt phía trên và phía dưới AB.
3. Giữ nguyên độ mở, đặt mũi nhọn tại B, vẽ cung tròn thứ hai cắt cung thứ nhất tại hai điểm P và Q.
4. Dùng thước nối P và Q. Đường thẳng PQ là đường trung trực của AB.

Giải thích: P và Q cùng cách đều A và B (cùng bằng bán kính compa) nên theo định lý đảo, PQ là trung trực của AB.

Cách 2: Dùng thước có chia vạch và ê-ke

1. Đo độ dài AB, đánh dấu trung điểm I.
2. Đặt ê-ke sao cho một cạnh góc vuông trùng AB, đỉnh góc vuông trùng I.
3. Kẻ đường thẳng theo cạnh góc vuông còn lại. Đó là trung trực của AB.

Phương trình đường trung trực trong mặt phẳng tọa độ

Lớp 10 thường gặp dạng: cho A(1; 2), B(5; 6), viết phương trình đường trung trực của AB.

1. Trung điểm I của AB: I((1 + 5)/2; (2 + 6)/2) = I(3; 4).
2. Vectơ AB = (4; 4) vuông góc với trung trực nên là vectơ pháp tuyến.
3. Phương trình: 4(x − 3) + 4(y − 4) = 0, rút gọn được x + y − 7 = 0.

Kiểm tra: điểm M(7; 0) thuộc đường thẳng vì 7 + 0 − 7 = 0. Ta có MA² = 6² + 2² = 40 và MB² = 2² + 6² = 40, nên MA = MB, đúng tính chất.

Ví dụ chứng minh có lời giải

Đề bài: Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm BC. Chứng minh AM là đường trung trực của BC.

1. Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, suy ra A cách đều B và C, do đó A thuộc trung trực của BC.
2. M là trung điểm BC nên MB = MC, suy ra M cũng thuộc trung trực của BC.
3. A và M là hai điểm phân biệt cùng thuộc trung trực của BC, nên đường thẳng AM chính là đường trung trực của BC.

Tính chất cách đều này còn dùng để chứng minh hai tam giác bằng nhau hoặc làm bước đệm cho bài toán tam giác đồng dạng.

Sai lầm thường gặp khi học đường trung trực

• Nhầm đường trung trực với đường trung tuyến. Trung tuyến đi qua đỉnh, còn trung trực không nhất thiết đi qua đỉnh nào.
• Mở compa nhỏ hơn hoặc bằng nửa AB khiến hai cung không cắt nhau hoặc chỉ tiếp xúc.
• Chỉ chứng minh một điểm cách đều A, B rồi kết luận cả đường thẳng là trung trực. Cần đủ hai điểm phân biệt.

Câu hỏi thường gặp

Đường trung trực là gì nói ngắn gọn?

Đường trung trực là đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn đó.

Một đoạn thẳng có bao nhiêu đường trung trực?

Trong mặt phẳng, mỗi đoạn thẳng có đúng một đường trung trực.

Giao điểm ba đường trung trực của tam giác có tính chất gì?

Giao điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Giao điểm ba đường trung trực của tam giác vuông nằm ở đâu?

Nằm tại trung điểm cạnh huyền của tam giác vuông.

Đường trung trực có phải là trục đối xứng không?

Có. Đường trung trực của AB là trục đối xứng của đoạn thẳng AB: A đối xứng với B qua đường trung trực.