Trực tâm là gì? Tính chất và cách tìm trực tâm tam giác

Trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao. Ba đường cao của mọi tam giác luôn đồng quy tại một điểm duy nhất, thường kí hiệu là H.

Định nghĩa và vị trí của trực tâm

Đường cao xuất phát từ một đỉnh là đoạn thẳng (hoặc đường thẳng) kẻ từ đỉnh đó vuông góc với cạnh đối diện. Vì hai đường cao đã cắt nhau, đường cao thứ ba chắc chắn đi qua giao điểm đó; điểm đó là trực tâm. Vị trí của H phụ thuộc loại tam giác:

Loại tam giác	Vị trí trực tâm H
Nhọn	Nằm bên trong tam giác
Vuông tại A	Trùng với đỉnh góc vuông A
Tù	Nằm bên ngoài tam giác
Đều	Trùng với trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp
Cân tại A	Nằm trên đường cao kẻ từ A (cũng là trung tuyến, trung trực)

Tính chất của trực tâm

• Ba đường cao đồng quy tại H.
• Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì A là trực tâm của tam giác HBC, và tương tự cho B, C (hệ bốn điểm trực tâm).
• Trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng trên đường thẳng Euler, với G nằm giữa H và O và HG = 2·GO.
• Với tam giác không vuông, vectơ OH = OA + OB + OC (O là tâm ngoại tiếp).

Hãy phân biệt với trọng tâm (giao ba đường trung tuyến) và tâm ngoại tiếp (giao ba đường trung trực). Đường cao liên quan trực tiếp đến hai đường thẳng vuông góc và công thức diện tích tam giác S = ½ · a · h.

Cách tìm trực tâm

Cách dựng hình: kẻ hai đường cao bất kỳ, giao điểm là trực tâm.

Cách dùng tọa độ: viết phương trình hai đường cao, giải hệ để tìm H.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tam giác ABC có A(0; 3), B(−2; 0), C(4; 0). Tìm trực tâm H.

1. Đường cao từ A vuông góc BC. Vì BC nằm trên trục Ox nên đường cao là x = 0.
2. Vectơ AC = (4; −3). Đường cao từ B vuông góc AC nên có phương trình 4(x + 2) − 3(y − 0) = 0, tức 4x − 3y + 8 = 0.
3. Thay x = 0: −3y + 8 = 0, suy ra y = 8/3.

Vậy H(0; 8/3). Kiểm tra bằng đường cao từ C: AB = (−2; −3), phương trình −2(x − 4) − 3y = 0; thay H: 8 − 8 = 0, đúng.

Ví dụ 2. Tam giác ABC vuông tại A. Hai cạnh AB và AC vuông góc nhau nên chính chúng là hai đường cao kẻ từ C và B. Chúng cắt nhau tại A, vậy trực tâm là A.

Ví dụ 3 (kiểm tra đường thẳng Euler). Với tam giác ở ví dụ 1, trọng tâm G(2/3; 1), tâm ngoại tiếp O(1; 1/6). Ta có HG = (2/3; −5/3) và GO = (1/3; −5/6), do đó HG = 2·GO, ba điểm H, G, O thẳng hàng như tính chất nêu trên.

Ví dụ 4 (trực tâm ngoài tam giác). Tam giác ABC có A(0; 1), B(−3; 0), C(3; 0). Vectơ AB = (−3; −1), AC = (3; −1), tích vô hướng AB · AC = −9 + 1 = −8 < 0 nên góc A tù. Đường cao từ A là x = 0. Đường cao từ B vuông góc AC nên có phương trình 3(x + 3) − (y − 0) = 0; thay x = 0 được y = 9. Vậy H(0; 9), nằm ngoài tam giác, đúng với quy tắc tam giác tù.

Lưu ý

• Với tam giác tù, đường cao nằm ngoài tam giác; phải kéo dài cạnh đối diện để hạ đường vuông góc.
• Đừng nhầm trực tâm với trọng tâm: trọng tâm luôn nằm trong tam giác, trực tâm thì không.
• Chỉ trong tam giác đều bốn điểm đặc biệt (trực tâm, trọng tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp) mới trùng nhau.

Câu hỏi thường gặp

Trực tâm là gì?

Là giao điểm của ba đường cao trong tam giác.

Trực tâm có thể nằm ngoài tam giác không?

Có. Với tam giác tù, trực tâm nằm bên ngoài tam giác.

Trực tâm tam giác vuông nằm ở đâu?

Trùng với đỉnh của góc vuông.

Trực tâm khác trọng tâm thế nào?

Trực tâm là giao của các đường cao (vuông góc với cạnh), trọng tâm là giao của các đường trung tuyến (đi qua trung điểm cạnh).

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán, chương trình GDPT 2018 (Bộ Giáo dục và Đào tạo)