Số thực và số nguyên khác nhau thế nào?

Số nguyên (ℤ) là các số …, −2, −1, 0, 1, 2, … còn số thực (ℝ) gồm tất cả các số biểu diễn được trên trục số, kể cả số thập phân và số vô tỉ như √2, π. Mọi số nguyên đều là số thực, nhưng không phải số thực nào cũng là số nguyên.

Định nghĩa từng tập số

• Số tự nhiên (ℕ): 0, 1, 2, 3, …
• Số nguyên (ℤ): gồm số tự nhiên và các số đối của số tự nhiên khác 0: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, …
• Số hữu tỉ (ℚ): số viết được dưới dạng phân số a/b với a, b nguyên, b ≠ 0, như 1/2, −3/4, 5 (= 5/1). Biểu diễn thập phân của số hữu tỉ là hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
• Số vô tỉ: số thập phân vô hạn không tuần hoàn, không viết được dạng phân số, như √2 ≈ 1,41421…, π ≈ 3,14159…
• Số thực (ℝ): hợp của số hữu tỉ và số vô tỉ. Mỗi số thực ứng với một điểm trên trục số và ngược lại.

Quan hệ giữa các tập số

Ta có: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Nghĩa là tập sau chứa tập trước. Số vô tỉ nằm trong ℝ nhưng không nằm trong ℚ.

Bảng so sánh số nguyên và số thực

Tiêu chí	Số nguyên (ℤ)	Số thực (ℝ)
Gồm những số nào	Số nguyên âm, 0, số nguyên dương	Số hữu tỉ và số vô tỉ
Có phần thập phân không	Không	Có thể có (hữu hạn, tuần hoàn, hoặc không tuần hoàn)
Ví dụ	−7, 0, 12	−7, 0,5, 1/3, √2, π
Giữa hai số bất kì	Có thể không còn số nào (giữa 2 và 3)	Luôn còn vô số số khác
Phép chia (≠ 0)	Không phải lúc nào cũng cho số nguyên (1 ÷ 2)	Luôn cho số thực
Kí hiệu	ℤ	ℝ

Ví dụ phân loại có lời giải

Đề: Mỗi số sau thuộc tập nào trong ℤ, ℚ, ℝ: −7; 0; 3/4; √9; √5; π; 0,333…?

1. −7: số nguyên âm nên thuộc ℤ, do đó cũng thuộc ℚ và ℝ.
2. 0: thuộc ℤ (và ℕ), ℚ, ℝ.
3. 3/4 = 0,75: số hữu tỉ, thuộc ℚ và ℝ, không thuộc ℤ.
4. √9 = 3: là số nguyên nên thuộc ℤ, ℚ, ℝ. Chú ý: căn bậc hai không phải lúc nào cũng vô tỉ.
5. √5 ≈ 2,236…: thập phân vô hạn không tuần hoàn, là số vô tỉ, chỉ thuộc ℝ.
6. π ≈ 3,14159…: số vô tỉ, chỉ thuộc ℝ.
7. 0,333… = 1/3: số thập phân vô hạn tuần hoàn nên là số hữu tỉ, thuộc ℚ và ℝ.

Một số lưu ý và lỗi thường gặp

• Số thập phân hữu hạn như 2,5 là số hữu tỉ (5/2), không phải số vô tỉ.
• 3,14 chỉ là giá trị gần đúng của π; π là số vô tỉ.
• Không nhầm “số nguyên” với “số tự nhiên”: −5 là số nguyên nhưng không là số tự nhiên.
• Số thực không chỉ gồm số có dấu phẩy; số 5 cũng là số thực.

So sánh các số thực

Hai số thực bất kì luôn so sánh được. Trên trục số nằm ngang, số ở bên phải lớn hơn. Ví dụ √2 ≈ 1,414 < 1,5, và −√2 < −1. Khi so sánh số thập phân, so từng chữ số từ trái sang phải. Với phân số, cần quy đồng mẫu số, có thể xem bài mẫu số chung là gì.

Ứng dụng thực tế

Số nguyên dùng để đếm và biểu diễn lượng ngược chiều (nhiệt độ âm, tầng hầm). Số thực dùng để đo đạc: chiều dài 1,75 m, khối lượng 2,5 kg, chu vi hình tròn có π. Về việc đổi đơn vị với số thực, xem 1 km bằng bao nhiêu mét và hình học cơ bản ở bài đoạn thẳng là gì. Giá trị lượng giác thường là số thực, ví dụ trong bảng công thức lượng giác.

Câu hỏi thường gặp

Số nguyên có phải số thực không?

Có. Mọi số nguyên đều là số hữu tỉ và do đó là số thực, vì ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Số thực có phải số nguyên không?

Không nhất thiết. Số thực như 0,5, √2, π không phải số nguyên.

0 là số nguyên hay số thực?

Cả hai. 0 là số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ và số thực, nhưng không phải số nguyên dương hay âm.

Số vô tỉ có thuộc số thực không?

Có. Số thực gồm cả số hữu tỉ và số vô tỉ.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán – Bộ Giáo dục và Đào tạo (chương Số hữu tỉ, số thực)