Số chính phương là gì? Tính chất và ví dụ

Số chính phương là số tự nhiên bằng bình phương của một số tự nhiên. Nói cách khác, số k là số chính phương khi k = n² với n là số tự nhiên. Các số chính phương đầu tiên là 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100.

Định nghĩa và ví dụ

Ví dụ: 25 = 5², 144 = 12², 1.225 = 35² đều là số chính phương. Còn 20 hay 50 thì không, vì không có số tự nhiên nào bình phương lên bằng chúng. Số chính phương còn được hiểu là số có căn bậc hai là một số tự nhiên. Về lũy thừa, bạn xem thêm bài lũy thừa và tính chất lũy thừa.

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n2	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100

Tính chất của số chính phương

1. Chữ số tận cùng chỉ có thể là 0; 1; 4; 5; 6; 9. Số tận cùng bằng 2; 3; 7; 8 chắc chắn không phải số chính phương.
2. Chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1 (không bao giờ dư 2).
3. Chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1 (không bao giờ dư 2 hoặc 3).
4. Số chính phương lẻ chia cho 8 dư 1.
5. Phân tích thừa số nguyên tố: mọi thừa số nguyên tố đều có số mũ chẵn. Ví dụ 36 = 2² · 3².
6. Số ước: số chính phương có số lượng ước dương là số lẻ, và ngược lại. Ví dụ 36 có 9 ước (1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36), còn 12 có 6 ước.
7. Tổng các số lẻ liên tiếp: 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n².

Giải thích nhanh tính chất 2 và 3: một số tự nhiên n khi chia cho 3 dư 0, 1 hoặc 2, bình phương lên lần lượt dư 0, 1, 1 (vì 2² = 4 = 3 + 1). Tương tự, n chẵn có dạng 2k thì n² = 4k² chia hết cho 4, n lẻ có dạng 2k + 1 thì n² = 4k(k + 1) + 1 chia cho 4 dư 1.

Cách nhận biết một số có phải số chính phương

1. Xem chữ số tận cùng; nếu là 2; 3; 7; 8 thì loại ngay.
2. Xét số dư khi chia cho 3 hoặc 4.
3. Dùng máy tính: lấy căn bậc hai, nếu kết quả là số nguyên thì đúng.
4. Kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp: nếu k nằm hẳn giữa n² và (n + 1)² thì k không phải số chính phương.

Bài tập có lời giải

Bài 1. Số 2.023 có phải số chính phương không?

Lời giải. Cách 1: hai chữ số cuối là 23, 23 chia 4 dư 3 nên 2.023 chia 4 dư 3, trái với tính chất 3. Cách 2: 44² = 1.936 và 45² = 2.025, mà 1.936 < 2.023 < 2.025 nên 2.023 không phải số chính phương.

Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, số n(n + 1) không phải số chính phương.

Lời giải. Ta có n² < n² + n < n² + 2n + 1 = (n + 1)² (vì n ≥ 1 nên n > 0 và n < 2n + 1). Vậy n(n + 1) nằm giữa hai số chính phương liên tiếp n² và (n + 1)² nên không là số chính phương.

Bài 3. Tính 1 + 3 + 5 + 7 + 9 rồi nhận xét.

Lời giải. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5². Tổng của 5 số lẻ đầu tiên là 5², khớp với tính chất 7.

Bài 4. Có bao nhiêu số chính phương từ 1 đến 100?

Lời giải. Các số cần tìm là n² với 1 ≤ n ≤ 10, tức là 10 số.

Liên hệ kiến thức khác

Số chính phương xuất hiện trong biệt thức Δ = b² − 4ac: với a, b, c là số nguyên, khi Δ là số chính phương thì phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ, xem cách giải nhanh phương trình bậc 2. Diện tích hình vuông cạnh a là a², cũng là số chính phương khi a là số tự nhiên, xem công thức tính diện tích hình vuông. Ngoài ra, ở số hữu tỉ bạn sẽ gặp căn bậc hai của số chính phương là số hữu tỉ.

Lỗi thường gặp

• Nghĩ rằng tận cùng bằng 1; 4; 5; 6; 9 thì chắc chắn là số chính phương. Đây chỉ là điều kiện cần: 21 tận cùng bằng 1 nhưng không phải số chính phương.
• Quên số 0 và số 1 cũng là số chính phương.
• Nhầm với số chính phương hữu tỉ như 1/4 hay 2,25; theo định nghĩa, số chính phương là số tự nhiên.

Câu hỏi thường gặp

Số 0 và số 1 có phải là số chính phương không?

Có, vì 0 = 0² và 1 = 1².

Số chính phương có thể tận cùng bằng chữ số nào?

Chỉ tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6 hoặc 9.

Số chính phương chia cho 3 và 4 dư bao nhiêu?

Chia cho 3 dư 0 hoặc 1; chia cho 4 dư 0 hoặc 1.

Vì sao số chính phương có số ước là số lẻ?

Các ước của số thường đi thành từng cặp (d, n : d); số chính phương có một ước d = √n đứng một mình nên tổng số ước là số lẻ.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán THCS – Bộ Giáo dục và Đào tạo