Số hữu tỉ là gì? Tập hợp Q và cách nhận biết

Trong toán học, số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số a/b, với a và b là số nguyên và b ≠ 0. Tập hợp các số hữu tỉ được ký hiệu là Q.

Số hữu tỉ là gì?

Định nghĩa trong sách giáo khoa Toán 7 rất gọn: số hữu tỉ là số có thể biểu diễn bởi một phân số a/b, trong đó a, b ∈ Z và b ≠ 0.

Điều kiện b ≠ 0 là bắt buộc vì phép chia cho 0 không có nghĩa. Còn điều kiện “a, b là số nguyên” mới là điểm phân biệt: 3/4 là số hữu tỉ, nhưng √2/2 thì không, vì √2 không phải số nguyên.

Mỗi số hữu tỉ có vô số cách viết dưới dạng phân số. Chẳng hạn 0,6 = 6/10 = 3/5 = 9/15. Khi làm bài, ta thường đưa về phân số tối giản với mẫu dương để dễ so sánh. Bạn có thể xem lại cách rút gọn phân số nếu phần này còn vướng.

Tập hợp Q và quan hệ với N, Z

Các tập hợp số ở phổ thông lồng nhau theo thứ tự: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

• Mọi số tự nhiên n đều là số hữu tỉ, vì n = n/1. Ví dụ 7 = 7/1.
• Mọi số nguyên âm cũng là số hữu tỉ: −5 = −5/1.
• Mọi phân số đều là số hữu tỉ. Khái niệm phân số học ở lớp 6 chính là bước chuẩn bị cho tập Q.
• Ngược lại không đúng: có những số thực không thuộc Q, gọi là số vô tỉ, chẳng hạn √2 hay π.

Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương, nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm. Riêng số 0 không dương cũng không âm.

Cách nhận biết một số hữu tỉ

Có hai dấu hiệu dùng được ngay:

1. Đưa về dạng a/b với a, b nguyên. Nếu làm được thì đó là số hữu tỉ.
2. Xét dạng thập phân. Số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn luôn là số hữu tỉ; số thập phân vô hạn không tuần hoàn thì không.

Số	Viết lại	Có là số hữu tỉ?
−4	−4/1	Có
2,75	275/100 = 11/4	Có
0,(3) tức 0,333…	1/3	Có (thập phân tuần hoàn)
−1 1/2 (hỗn số)	−3/2	Có
√9	3 = 3/1	Có
√2 ≈ 1,41421356…	không đưa được về a/b	Không
π ≈ 3,14159265…	không đưa được về a/b	Không

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Viết số 0,125 thành phân số tối giản.

Lời giải: 0,125 = 125/1.000. Chia cả tử và mẫu cho 125 ta được 1/8. Vậy 0,125 = 1/8, là số hữu tỉ.

Ví dụ 2. So sánh hai số hữu tỉ −3/4 và −5/7.

Lời giải: quy đồng về mẫu 28, ta có −3/4 = −21/28 và −5/7 = −20/28. Vì −21 < −20 nên −21/28 < −20/28, tức −3/4 < −5/7.

Ví dụ 3. Đổi số thập phân tuần hoàn 0,(27) thành phân số.

Lời giải: đặt x = 0,272727… Khi đó 100x = 27,272727… Trừ hai đẳng thức: 99x = 27, suy ra x = 27/99 = 3/11. Thử lại: 3 ÷ 11 = 0,272727…, đúng. Vậy 0,(27) là số hữu tỉ.

Những sai lầm thường gặp

• Nghĩ căn bậc hai nào cũng là số vô tỉ. √9 = 3, √0,25 = 0,5 đều là số hữu tỉ. Chỉ căn của số không phải số chính phương mới cho số vô tỉ.
• Quên điều kiện b ≠ 0. Biểu thức 5/0 không phải số hữu tỉ, nó không xác định.
• Coi 22/7 là π. 22/7 chỉ là giá trị gần đúng của π; 22/7 là số hữu tỉ còn π thì không.
• Lẫn lộn “số hữu tỉ” với “số dương”. Số hữu tỉ có cả âm, dương và số 0.
• So sánh hai phân số âm bằng cách so tử số mà bỏ dấu. Phải quy đồng rồi so sánh tử số kèm dấu, như Ví dụ 2.

Số hữu tỉ dùng để làm gì?

Tập Q là nền cho hầu hết phép tính ở trung học: cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa với số mũ nguyên, tỉ lệ phần trăm, tỉ lệ bản đồ, lãi suất. Trong thực tế, mọi số đo ta ghi được bằng thước, cân hay máy tính đều là số hữu tỉ, vì chúng luôn có hữu hạn chữ số thập phân.

Câu hỏi thường gặp

Số 0 có là số hữu tỉ không?

Có. Số 0 viết được thành 0/1, tức dạng a/b với a = 0, b = 1 ≠ 0, nên 0 là số hữu tỉ. Đây cũng là số hữu tỉ duy nhất không dương và không âm.

Số nguyên có phải số hữu tỉ không?

Mọi số nguyên n đều là số hữu tỉ vì n = n/1. Vì vậy tập hợp số nguyên Z là một tập con của tập hợp số hữu tỉ Q.

Số hữu tỉ và số thập phân khác nhau thế nào?

Số thập phân chỉ là một cách viết. Một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn thì là số hữu tỉ; còn số thập phân vô hạn không tuần hoàn như 1,414213… thì không phải số hữu tỉ.

Có bao nhiêu phân số biểu diễn cùng một số hữu tỉ?

Vô số. Ví dụ 1/2 = 2/4 = 3/6 = −5/−10. Dạng gọn nhất là phân số tối giản có mẫu dương, nên khi so sánh hai số hữu tỉ ta thường rút gọn trước.

Số hữu tỉ học ở lớp mấy?

Theo chương trình Toán hiện hành, tập hợp số hữu tỉ Q được giới thiệu ở đầu lớp 7, sau khi học sinh đã học phân số ở lớp 6 và số nguyên âm.