Lũy thừa là gì? Công thức và tính chất lũy thừa

Lũy thừa bậc n của a (kí hiệu aⁿ) là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a: aⁿ = a · a · … · a (n thừa số a). Trong đó a gọi là cơ số, n gọi là số mũ. Ví dụ 2⁵ = 2·2·2·2·2 = 32.

Lũy thừa là gì? Định nghĩa và cách đọc

Hiểu đơn giản, lũy thừa là cách viết gọn một phép nhân lặp lại nhiều lần cùng một số. Thay vì viết 3·3·3·3, ta viết 3⁴ và đọc là “3 mũ 4” hoặc “lũy thừa bậc 4 của 3”. Phép tính tìm giá trị của lũy thừa gọi là phép nâng lên lũy thừa.

• a² đọc là “a bình phương”.
• a³ đọc là “a lập phương”.
• Quy ước: a¹ = a.
• Quy ước: a⁰ = 1 với a ≠ 0.

Câu hỏi lũy thừa là gì được mở rộng dần qua các lớp: lớp 6 học số mũ tự nhiên, lớp 7 với số hữu tỉ, lớp 11 mở rộng sang số mũ nguyên âm, số mũ hữu tỉ và số mũ thực.

Các công thức lũy thừa cần nhớ

Với a, b là các số thực khác 0 và m, n là các số nguyên:

Tính chất	Công thức	Ví dụ
Nhân hai lũy thừa cùng cơ số	am · an = am+n	2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128
Chia hai lũy thừa cùng cơ số	am : an = am−n	5⁶ : 5⁴ = 5² = 25
Lũy thừa của lũy thừa	(am)n = am·n	(3²)³ = 3⁶ = 729
Lũy thừa của một tích	(a · b)n = an · bn	(2 · 5)³ = 2³ · 5³ = 1.000
Lũy thừa của một thương	(a / b)n = an / bn	(2/3)² = 4/9
Số mũ nguyên âm	a−n = 1 / an	2−3 = 1/8
Số mũ hữu tỉ (a > 0)	am/n = n√(am)	82/3 = 3√64 = 4

Ghi nhớ nhanh: nhân thì cộng số mũ, chia thì trừ số mũ, lũy thừa của lũy thừa thì nhân số mũ. Các công thức này chỉ áp dụng khi cùng cơ số (với phép nhân, chia) hoặc cùng số mũ (với lũy thừa của tích, thương).

Bảng một số lũy thừa thường gặp

n	2ⁿ	3ⁿ	10ⁿ
1	2	3	10
2	4	9	100
3	8	27	1.000
4	16	81	10.000
5	32	243	100.000
10	1.024	59.049	10.000.000.000

Lũy thừa của số âm và dấu của kết quả

• Lũy thừa bậc chẵn của số âm là số dương: (−3)² = 9; (−2)⁴ = 16.
• Lũy thừa bậc lẻ của số âm là số âm: (−3)³ = −27; (−2)⁵ = −32.

Nguyên nhân nằm ở quy tắc dấu khi nhân: cứ hai thừa số âm nhân với nhau thì được số dương. Bạn có thể xem lại phần này trong bài quy tắc đổi dấu.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Viết gọn và tính

Tính A = 2⁴ · 2³ : 2⁵.

A = 2⁴⁺³⁻⁵ = 2² = 4.

Ví dụ 2: So sánh hai lũy thừa

So sánh 2³⁰⁰ và 3²⁰⁰.

1. Đưa về cùng số mũ 100: 2³⁰⁰ = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰ và 3²⁰⁰ = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰.
2. Vì 8 < 9 nên 8¹⁰⁰ < 9¹⁰⁰.
3. Kết luận: 2³⁰⁰ < 3²⁰⁰.

Ví dụ 3: Tìm x

Tìm số tự nhiên x biết 3ˣ⁺¹ = 81.

Ta có 81 = 3⁴, nên x + 1 = 4, suy ra x = 3.

Ví dụ 4: Số mũ âm và hữu tỉ

Tính B = 4^−1/2 + 27^1/3.

4^−1/2 = 1/√4 = 1/2; 27^1/3 = ³√27 = 3. Vậy B = 1/2 + 3 = 3,5.

Ứng dụng của lũy thừa

• Phân tích một số ra thừa số nguyên tố dưới dạng lũy thừa, nền tảng để tìm ƯCLN và BCNN. Ví dụ 72 = 2³·3².
• Viết số rất lớn, rất nhỏ bằng kí hiệu khoa học: khoảng cách 150.000.000 km viết là 1,5·10⁸ km.
• Tính lãi kép, tăng trưởng dân số, phân rã phóng xạ, đều dùng hàm số mũ.
• Đơn vị diện tích, thể tích: 1 m² = 10⁴ cm², 1 m³ = 10⁶ cm³.
• Biến đổi đa thức: bậc của mỗi đơn thức chính là tổng số mũ của các biến, ví dụ 3x²y³ có bậc 5.
• Hàm số mũ y = aˣ và hàm lũy thừa y = x^α trong chương trình Toán 11 đều xây dựng trực tiếp từ các tính chất lũy thừa.

Sai lầm thường gặp

• Nhầm −2² với (−2)²: −2² = −(2²) = −4, còn (−2)² = 4.
• Cộng lũy thừa bằng cách cộng số mũ: 2³ + 2⁴ ≠ 2⁷. Đúng là 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24.
• Nhân số mũ khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số: 2³ · 2⁴ = 2⁷, không phải 2¹².
• Viết 0⁰ = 1. Trong chương trình phổ thông, 0⁰ không có nghĩa.

Câu hỏi thường gặp

Lũy thừa là gì nói ngắn gọn?

Lũy thừa là phép nhân một số với chính nó nhiều lần; aⁿ là tích của n thừa số a.

Vì sao a⁰ = 1?

Vì aⁿ : aⁿ = 1, mà theo công thức chia cùng cơ số thì aⁿ : aⁿ = a⁰. Do đó a⁰ = 1 với a ≠ 0.

Số mũ âm nghĩa là gì?

Số mũ âm biểu thị nghịch đảo: a⁻ⁿ = 1/aⁿ với a ≠ 0. Ví dụ 10⁻² = 1/100 = 0,01.

Lũy thừa và căn bậc n liên hệ thế nào?

Căn bậc n là phép toán ngược của lũy thừa bậc n. Với a > 0, ta có ⁿ√a = a^1/n.