Cách giải nhanh phương trình bậc 2

Để giải phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), tính biệt thức Δ = b² − 4ac: nếu Δ > 0 có hai nghiệm phân biệt x = (−b ± √Δ) / 2a; nếu Δ = 0 có nghiệm kép x = −b / 2a; nếu Δ < 0 phương trình vô nghiệm (trong tập số thực). Khi có thể, hãy nhẩm nghiệm bằng a + b + c = 0 hoặc a − b + c = 0 để giải nhanh hơn.

Phương pháp 1: dùng biệt thức Δ

1. Xác định hệ số a, b, c (nhớ lấy cả dấu).
2. Tính Δ = b² − 4ac.
3. So sánh Δ với 0 rồi kết luận nghiệm theo bảng dưới.

Biệt thức	Số nghiệm	Công thức nghiệm
Δ > 0	Hai nghiệm phân biệt	x1 = (−b + √Δ) / 2a; x2 = (−b − √Δ) / 2a
Δ = 0	Nghiệm kép	x1 = x2 = −b / 2a
Δ < 0	Vô nghiệm	Không có nghiệm thực

Ví dụ 1. Giải x² − 5x + 6 = 0.

Lời giải. a = 1, b = −5, c = 6. Δ = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1 > 0, √Δ = 1. Suy ra x₁ = (5 + 1) / 2 = 3; x₂ = (5 − 1) / 2 = 2. Tập nghiệm S = {2; 3}.

Ví dụ 2. Giải x² − 4x + 4 = 0.

Lời giải. Δ = (−4)² − 4 · 1 · 4 = 0 nên phương trình có nghiệm kép x = 4 / 2 = 2.

Ví dụ 3. Giải 3x² − 2x + 5 = 0.

Lời giải. Δ = (−2)² − 4 · 3 · 5 = 4 − 60 = −56 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

Phương pháp 2: dùng Δ’ khi b chẵn

Nếu b = 2b’ thì dùng Δ’ = b’² − ac. Khi Δ’ > 0, nghiệm là x = (−b’ ± √Δ’) / a; khi Δ’ = 0 có nghiệm kép x = −b’ / a; khi Δ’ < 0 vô nghiệm.

Ví dụ 4. Giải 3x² − 8x + 4 = 0.

Lời giải. b = −8 nên b’ = −4. Δ’ = (−4)² − 3 · 4 = 16 − 12 = 4 > 0, √Δ’ = 2. Nghiệm x₁ = (4 + 2) / 3 = 2; x₂ = (4 − 2) / 3 = 2/3.

Phương pháp 3: nhẩm nghiệm bằng tổng các hệ số

• Nếu a + b + c = 0 thì x₁ = 1 và x₂ = c / a.
• Nếu a − b + c = 0 thì x₁ = −1 và x₂ = −c / a.

Ví dụ 5. Giải 2x² − 5x + 3 = 0. Lời giải. a + b + c = 2 − 5 + 3 = 0 nên x₁ = 1; x₂ = 3/2.

Ví dụ 6. Giải 2x² + 5x + 3 = 0. Lời giải. a − b + c = 2 − 5 + 3 = 0 nên x₁ = −1; x₂ = −3/2.

Phương pháp 4: dùng hệ thức Vi-ét

Nếu phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thì x₁ + x₂ = −b / a và x₁ · x₂ = c / a. Ngược lại, hai số có tổng S và tích P là nghiệm của phương trình X² − SX + P = 0 (điều kiện S² − 4P ≥ 0).

Ví dụ 7. Tìm hai số có tổng bằng 7 và tích bằng 12.

Lời giải. Hai số là nghiệm của X² − 7X + 12 = 0. Δ = 49 − 48 = 1, X = (7 ± 1) / 2 nên X = 4 hoặc X = 3. Vậy hai số là 3 và 4. Kiểm tra: 3 + 4 = 7 và 3 · 4 = 12.

Chọn phương pháp nào cho nhanh?

• Thấy ngay a + b + c = 0 hoặc a − b + c = 0: nhẩm nghiệm.
• b chẵn: dùng Δ’.
• Bài yêu cầu tổng, tích nghiệm hoặc biểu thức đối xứng: dùng Vi-ét (cần điều kiện Δ ≥ 0).
• Còn lại: dùng Δ. Phương trình thiếu hạng tử: ax² + c = 0 thì x² = −c / a; ax² + bx = 0 thì x(ax + b) = 0.

Muốn mở rộng lên phương trình bậc cao hơn, đọc phương trình bậc 3 có bao nhiêu nghiệm. Trước khi giải, bạn có thể cần quy tắc đổi dấu trong biểu thức để đưa phương trình về dạng chuẩn, và nắm vững kiến thức về đa thức.

Lỗi thường gặp

• Sai dấu của b khi thay vào công thức; hãy viết rõ b = −5 rồi mới tính (−5)².
• Quên đưa mọi hạng tử về một vế trước khi xác định a, b, c.
• Dùng Vi-ét khi chưa kiểm tra phương trình có nghiệm.

Câu hỏi thường gặp

Phương trình bậc 2 có tối đa bao nhiêu nghiệm?

Tối đa hai nghiệm thực. Có thể có hai nghiệm phân biệt, một nghiệm kép hoặc vô nghiệm.

Khi nào dùng Δ’ thay cho Δ?

Khi hệ số b là số chẵn (b = 2b’). Khi đó Δ = 4Δ’ nên Δ và Δ’ cùng dấu.

Hệ thức Vi-ét dùng để làm gì?

Dùng để tính tổng và tích hai nghiệm mà không cần giải phương trình, nhẩm nghiệm và tìm hai số khi biết tổng và tích.

Phương trình có Δ âm thì kết luận thế nào?

Vô nghiệm trong tập số thực.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán 9 – Bộ Giáo dục và Đào tạo