Cách giải phương trình bậc 3 nhanh và chính xác cho học sinh

Question

0

Đã trả lời

Mình không biết phương trình bậc 3 có bao nhiêu nghiệm? Mọi người ai biết cách giải phương trình bậc 3 chính xác nhất không ạ?

Câu hỏi của Thuỷ Top vào 10/04/2018 danh mục: Toán Học.

1 Trả lời

Câu trả lời của bạn

Trinh Ngọc · Accepted Answer · 10/04/2018

Phương trình bậc 3 là kiến thức cơ bản được đưa vào giảng dạy tại các cấp bậc phổ thông. Việc nắm vững cách giải và tìm nghiệm phương trình bậc 3 sẽ giúp các bạn dễ dàng xử lý các dạng toán hay vẽ đồ thị hàm số.

Giải phương trình bậc 3 cơ bản

$x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0$

Ta có:

$\Delta = b^{2} - 3ac$

$k= \frac{9abc - 2b^{3} - 27a^{2}d}{\sqrt[2]{|\Delta|^{3}}}$

Ta có các trường hợp nghiệm sau:

Nếu $\Delta < 0$ , phương trình có một nghiệm duy nhất là: $x=\frac{\sqrt{|\Delta|}}{3a} \left ( \sqrt[3]{k+\sqrt{k^{2} + 1}} + \sqrt[3]{k - \sqrt{k^{2}+1}}\right ) - \frac{b}{3a}$

Nếu $\Delta = 0$ , phương trình có một nghiệm bội: $x= \frac{-b + \sqrt[3]{b^{3} - 27a^{2}d}}{3a}$

Nếu $\Delta > 0$ và $|k| \leq 1$ , phương trình có 3 nghiệm: $x_{1} = \frac{2\sqrt{\Delta}\cos(\frac{\arccos(k)}{3}) -b}{3a}$ ; $x_{2} = \frac{2\sqrt{\Delta}\cos(\frac{\arccos(k)} {3}- \frac{2\pi }{3})- b}{3a}$ ; $x_{3} = \frac{2\sqrt{\Delta}\cos(\frac{\arccos(k)} {3} + \frac{2\pi }{3})- b}{3a}$

Nếu $\Delta > 0$ và |k| > 1 , phương trình có nghiệm duy nhất $x= \frac{\sqrt{\Delta}|k|}{3ak}\left ( \sqrt[3]{|k| + \sqrt{k^{2}-1}} + \sqrt[3]{|k| - \sqrt{k^{2} -1 }} \right) - \frac{b}{3a}$

Giải phương trình bậc 3 bằng phương pháp Cardano

Ta có phương trình:

$x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0$ (1)

Bước 1: Đặt $x = t - \frac{a}{3}$ và biến đổi bằng phép tính cơ bản ta được phương trình mới

$t^{3} + 3p + q = 0$ (2)

Trong đó

$p = b - \frac{a^{2}}{3}$
$q = c + \frac{2a^{3} - 9ab }{27}$

Phương trình (2) được gọi là phương trình bậc 3 suy biến. Bây giờ ta sẽ tìm các biến u và v sao cho

$u^{3} - v^{3} = q$ và $u.v = \frac{p}{3}$ (3)

Nghiệm đầu tiên tìm được bằng cách đặt

Thế các giá trị q và p (3) vào phương trình (2 ) ta được phương trình mới

$(v - u)^{3} + 3uv(v - u) + (u^{3} - v^{3}) = 0$

Từ phương trình $u.v = \frac{p}{3} => v = \frac{p}{3u}$

Thay giá trị vào phương trình (3) ta được

$u^{3} - \frac{p^{3}}{27u^{3}} = q$ (4)

Phương trình (4) tương đương như phương trình bậc 2 với $u^{3}$ . Khi giải ta tìm được

$u = \sqrt[3]{\frac{q}{2} \mp \sqrt{\frac{q^{2}}{4}+ \frac{p^{3}}{27}}}$

Vì

$t = x + \frac{a}{3}$

$x = \frac{p}{3u} - u - \frac{a}{3}$

Chú ý rằng giá trị u tìm được từ (5) Vì chứa 2 căn bậc 3 với dấu( +/ – ) và mỗi căn bậc 3 có 3 giá trị là một giá trị thực và 2 giá trị tích.

$-\frac{1}{2} \pm \frac{i\sqrt{3}}{2}$

Nhưng dấu của căn phải lựa chọn sao cho tính x, không bị trường hợp chi cho 0 ( mội giá trị chia cho 0 đều là phương trình vô nghiệm)

Nếu p = 0 thì ta chọn dấu của căn bậc 2 sao cho u # 0, e, i.

$u = \sqrt[3]{q}$

Nếu p = q = 0 thì $x = -\frac{a}{3}$

Giải phương trình bậc 3 bằng cách rút về bậc 2

Giải phương trình bậc 3 sau

$x^{3} - 3x -1 = 0$

Ta phân tích phương trình thành tích phương trình bậc nhất và phương trình bậc 2 như sau

$(2x - 3)(2x^{2} + 3x + 3)$

Phương trình thứ nhất 2x – 3 = 0 có 1 nghiệm là x = 3/2

Phương trình (2×2 + 3x + 3) vô nghiệm. Nếu các bạn chưa biết cách giải phương trình bậc 2 có thể tham khảo nha. Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là x = 3/2

Ngoài ra bạn cũng có thể giải phương trình bậc 3 bằng máy tính bỏ túi nữa nhé. Chúc bạn thành công.

Bản quyền tại DMCA

Cách giải phương trình bậc 3 nhanh và chính xác cho học sinh

Giải phương trình bậc 3 cơ bản

Giải phương trình bậc 3 bằng phương pháp Cardano

Giải phương trình bậc 3 bằng cách rút về bậc 2

TOP USERS