Phương trình bậc 3 có bao nhiêu nghiệm? Cách giải nhanh

Phương trình bậc 3 dạng ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0) luôn có ít nhất 1 nghiệm thực và tối đa 3 nghiệm thực. Tùy hệ số, nó có thể có 1 nghiệm, 2 nghiệm phân biệt (một nghiệm kép) hoặc 3 nghiệm phân biệt.

Vì sao phương trình bậc 3 luôn có nghiệm?

Xét hàm số f(x) = ax³ + bx² + cx + d với a > 0. Khi x rất lớn, f(x) nhận giá trị dương rất lớn; khi x rất nhỏ (âm), f(x) nhận giá trị âm rất nhỏ. Vì đồ thị là một đường liền nét, nó bắt buộc phải cắt trục hoành ít nhất một lần. Trường hợp a < 0 lập luận tương tự.

Mặt khác, một đa thức bậc 3 có tối đa 3 nghiệm, nên số nghiệm thực của phương trình bậc 3 chỉ có thể là 1, 2 hoặc 3.

Điều kiện để phương trình bậc 3 có 1, 2, 3 nghiệm

Cách xét phổ biến trong chương trình lớp 12 là dùng đạo hàm f'(x) = 3ax² + 2bx + c. Đặt Δ’ = b² − 3ac.

Trường hợp	Điều kiện	Số nghiệm thực phân biệt
Hàm số không có cực trị	Δ’ = b² − 3ac ≤ 0	Đúng 1 nghiệm
Có cực trị, hai giá trị cực trị cùng dấu	Δ’ > 0 và yCĐ · yCT > 0	1 nghiệm
Có cực trị, một giá trị cực trị bằng 0	Δ’ > 0 và yCĐ · yCT = 0	2 nghiệm (1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép)
Có cực trị, hai giá trị cực trị trái dấu	Δ’ > 0 và yCĐ · yCT < 0	3 nghiệm phân biệt

Như vậy, phương trình bậc 3 có 1 nghiệm khi hàm số đơn điệu (Δ’ ≤ 0) hoặc khi hai giá trị cực đại, cực tiểu nằm cùng một phía của trục hoành. Cách hiểu bằng đồ thị này gắn liền với kiến thức về hàm số.

Cách giải nhanh phương trình bậc 3 (từng bước)

1. Nhẩm một nghiệm đặc biệt:
   • Nếu a + b + c + d = 0 thì x = 1 là nghiệm.
   • Nếu a − b + c − d = 0 thì x = −1 là nghiệm.
   • Nếu không, thử các giá trị p/q với p là ước của d, q là ước của a.
2. Chia đa thức bằng sơ đồ Horner cho (x − x₀) để được dạng (x − x₀)(Ax² + Bx + C) = 0.
3. Giải phương trình bậc hai Ax² + Bx + C = 0 bằng biệt thức Δ.
4. Kết luận và kiểm tra lại bằng cách thay nghiệm vào phương trình hoặc dùng chế độ giải phương trình của máy tính cầm tay.

Khi biến đổi, chú ý quy tắc đổi dấu để không bị sai hệ số.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1 (3 nghiệm): Giải x³ − 6x² + 11x − 6 = 0.

1. Tổng hệ số: 1 − 6 + 11 − 6 = 0 nên x = 1 là nghiệm.
2. Horner với x₀ = 1: hệ số 1; −6 + 1 = −5; 11 − 5 = 6; −6 + 6 = 0. Ta được (x − 1)(x² − 5x + 6) = 0.
3. x² − 5x + 6 = 0 có nghiệm x = 2 và x = 3.
4. Kết luận: phương trình có 3 nghiệm x = 1, x = 2, x = 3.

Ví dụ 2 (phương trình bậc 3 có 1 nghiệm): Giải x³ + x² + x − 3 = 0.

1. Tổng hệ số: 1 + 1 + 1 − 3 = 0 nên x = 1 là nghiệm.
2. Horner: 1; 1 + 1 = 2; 1 + 2 = 3; −3 + 3 = 0. Ta được (x − 1)(x² + 2x + 3) = 0.
3. x² + 2x + 3 = 0 có Δ = 4 − 12 = −8 < 0 nên vô nghiệm.
4. Kết luận: phương trình có đúng 1 nghiệm x = 1. Kiểm tra theo bảng: Δ’ = 1² − 3 · 1 · 1 = −2 < 0, hàm số đơn điệu, khớp kết quả.

Ví dụ 3 (2 nghiệm): Giải x³ − 3x + 2 = 0.

1. Tổng hệ số: 1 + 0 − 3 + 2 = 0 nên x = 1 là nghiệm.
2. Horner: 1; 0 + 1 = 1; −3 + 1 = −2; 2 − 2 = 0. Ta được (x − 1)(x² + x − 2) = 0.
3. x² + x − 2 = (x − 1)(x + 2), nên phương trình là (x − 1)²(x + 2) = 0.
4. Kết luận: x = 1 (nghiệm kép) và x = −2, tức 2 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 4 (nhẩm x = −1): Giải 2x³ − x² − 5x − 2 = 0.

1. a − b + c − d = 2 + 1 − 5 + 2 = 0 nên x = −1 là nghiệm.
2. Horner với x₀ = −1: 2; −1 − 2 = −3; −5 + 3 = −2; −2 + 2 = 0. Ta được (x + 1)(2x² − 3x − 2) = 0.
3. 2x² − 3x − 2 = 0 có Δ = 9 + 16 = 25, nghiệm x = (3 ± 5)/4, tức x = 2 hoặc x = −1/2.
4. Kết luận: x = −1, x = 2, x = −1/2.

Ví dụ 5 (bài toán tham số): Tìm m để x³ − 3x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

1. Xét f(x) = x³ − 3x + m, f'(x) = 3x² − 3 = 0 khi x = ±1.
2. f(−1) = m + 2 (cực đại), f(1) = m − 2 (cực tiểu).
3. Có 3 nghiệm phân biệt khi (m + 2)(m − 2) < 0, tức −2 < m < 2.
4. Ngược lại, phương trình có 1 nghiệm khi m < −2 hoặc m > 2, và có 2 nghiệm khi m = ±2.

Lưu ý và sai lầm thường gặp

• Nhầm số nghiệm với số nghiệm kể cả bội: (x − 1)²(x + 2) = 0 có 2 nghiệm phân biệt, nhưng nếu đếm cả bội thì là 3.
• Quên điều kiện a ≠ 0: với bài có tham số ở hệ số x³, phải xét riêng trường hợp hệ số đó bằng 0.
• Sai dấu trong Horner: khi chia cho (x + 1), giá trị dùng trong sơ đồ là −1, không phải 1.
• Phương trình bậc 3 không có nghiệm hữu tỉ vẫn có nghiệm thực; khi đó nên dùng máy tính hoặc công thức Cardano để tìm gần đúng.

Để làm tốt dạng bài này, bạn nên ôn lại cách biến đổi lũy thừa và hằng đẳng thức như x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²).

Câu hỏi thường gặp

Phương trình bậc 3 có thể vô nghiệm không?

Không. Trên tập số thực, phương trình bậc 3 luôn có ít nhất 1 nghiệm vì đồ thị hàm bậc 3 luôn cắt trục hoành.

Khi nào phương trình bậc 3 có 1 nghiệm duy nhất?

Khi b² − 3ac ≤ 0 (hàm số không có cực trị), hoặc khi có cực trị nhưng giá trị cực đại và cực tiểu cùng dấu.

Phương trình bậc 3 có tối đa bao nhiêu nghiệm?

Tối đa 3 nghiệm thực phân biệt, vì đa thức bậc 3 không thể có quá 3 nghiệm.

Có công thức tổng quát giải phương trình bậc 3 không?

Có, đó là công thức Cardano, nhưng khá phức tạp. Ở phổ thông thường nhẩm một nghiệm rồi đưa về phương trình bậc hai.