Cách giải phương trình bậc 3 nhanh và chính xác cho học sinh

Mình không biết phương trình bậc 3 có bao nhiêu nghiệm? Mọi người ai biết cách giải phương trình bậc 3 chính xác nhất không ạ?

Thêm bình luận
  • 1 Trả lời
      Trả lời hay nhất

      Phương trình bậc 3 là kiến thức cơ bản được đưa vào giảng dạy tại các cấp bậc phổ thông. Việc nắm vững cách giải và tìm nghiệm phương trình bậc 3 sẽ giúp các bạn dễ dàng xử lý các dạng toán hay vẽ đồ thị hàm số.

      Giải phương trình bậc 3 cơ bản

      x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0

      Ta có:

      \Delta = b^{2} - 3ac

      k= \frac{9abc - 2b^{3} - 27a^{2}d}{\sqrt[2]{|\Delta|^{3}}}

      Ta có các trường hợp nghiệm sau:

      Nếu \Delta < 0, phương trình có một nghiệm duy nhất là: x=\frac{\sqrt{|\Delta|}}{3a} \left ( \sqrt[3]{k+\sqrt{k^{2} + 1}} + \sqrt[3]{k - \sqrt{k^{2}+1}}\right ) - \frac{b}{3a}

      Nếu \Delta = 0, phương trình có một nghiệm bội: x= \frac{-b + \sqrt[3]{b^{3} - 27a^{2}d}}{3a}

      Nếu\Delta > 0 và |k| \leq 1, phương trình có 3 nghiệm: x_{1} = \frac{2\sqrt{\Delta}\cos(\frac{\arccos(k)}{3}) -b}{3a}x_{2} = \frac{2\sqrt{\Delta}\cos(\frac{\arccos(k)} {3}- \frac{2\pi }{3})- b}{3a}x_{3} = \frac{2\sqrt{\Delta}\cos(\frac{\arccos(k)} {3} + \frac{2\pi }{3})- b}{3a}

      Nếu\Delta > 0 và |k| > 1, phương trình có nghiệm duy nhất x= \frac{\sqrt{\Delta}|k|}{3ak}\left ( \sqrt[3]{|k| + \sqrt{k^{2}-1}} + \sqrt[3]{|k| - \sqrt{k^{2} -1 }} \right) - \frac{b}{3a}

      Giải phương trình bậc 3 bằng phương pháp Cardano

      Ta có phương trình:

      x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 (1)

      Bước 1: Đặt x = t - \frac{a}{3} và biến đổi bằng phép tính cơ bản ta được phương trình mới

      t^{3} + 3p + q = 0 (2)

      Trong đó

      p = b - \frac{a^{2}}{3}

      q = c + \frac{2a^{3} - 9ab }{27}

      Phương trình (2) được gọi là phương trình bậc 3 suy biến. Bây giờ ta sẽ tìm các biến u và v sao cho

      u^{3} - v^{3} = q và u.v = \frac{p}{3} (3)

      Nghiệm đầu tiên tìm được bằng cách đặt

      t = v -u

      Thế các giá trị q và p (3) vào phương trình (2 ) ta được phương trình mới

      (v - u)^{3} + 3uv(v - u) + (u^{3} - v^{3}) = 0

      Từ phương trình u.v = \frac{p}{3} => v = \frac{p}{3u}

      Thay giá trị v vào phương trình (3) ta được

      u^{3} - \frac{p^{3}}{27u^{3}} = q (4)

      Phương trình (4) tương đương như phương trình bậc 2 với u^{3} . Khi giải ta tìm được

      u = \sqrt[3]{\frac{q}{2} \mp \sqrt{\frac{q^{2}}{4}+ \frac{p^{3}}{27}}}

      t = v - u

      t = x + \frac{a}{3}

      x = \frac{p}{3u} - u - \frac{a}{3}

      Chú ý rằng giá trị u tìm được từ (5) Vì chứa 2 căn bậc 3 với dấu( +/ – ) và mỗi căn bậc 3 có 3 giá trị là một giá trị thực và 2 giá trị tích.

      -\frac{1}{2} \pm \frac{i\sqrt{3}}{2}

      Nhưng dấu của căn phải lựa chọn sao cho tính x, không bị trường hợp chi cho 0 ( mội giá trị chia cho 0 đều là phương trình vô nghiệm)

      Nếu p = 0 thì ta chọn dấu của căn bậc 2 sao cho u # 0, e, i.

      u = \sqrt[3]{q}

      Nếu p = q = 0 thì x = -\frac{a}{3}

      Giải phương trình bậc 3 bằng cách rút về bậc 2

      Giải phương trình bậc 3 sau

      x^{3} - 3x -1 = 0

      Ta phân tích phương trình thành tích phương trình bậc nhất và phương trình bậc 2 như sau

      (2x - 3)(2x^{2} + 3x + 3)

      Phương trình thứ nhất 2x – 3 = 0 có 1 nghiệm là x = 3/2

      Phương trình (2×2 + 3x + 3) vô nghiệm. Nếu các bạn chưa biết cách giải phương trình bậc 2 có thể tham khảo nha. Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là x = 3/2

      Ngoài ra bạn cũng có thể giải phương trình bậc 3 bằng máy tính bỏ túi nữa nhé. Chúc bạn thành công.

      Trung học                 Đã trả lời vào 10/04/2018
      Thêm bình luận

    • Câu trả lời của bạn
      Khi tham gia trả lời bạn phải đồng ý với các điều khoản trên web site của chúng tôi: privacy policy and terms of service.