Đa thức là gì? Bậc của đa thức và các phép tính

Đa thức là một tổng của những đơn thức; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử. Ví dụ 3x²y − 5xy³ + 2x + 7 là đa thức gồm 4 hạng tử, và bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn (ở ví dụ này là bậc 4).

Đơn thức và đa thức là gì?

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến. Ví dụ: 5; x; −3x²y; (1/2)xy³.

Đa thức là tổng của những đơn thức. Ví dụ: x² + 2x − 1; 4xy − y² + 3. Mỗi đơn thức cũng được coi là một đa thức (đa thức có một hạng tử).

Nói ngắn gọn, đa thức là gì? Đó là biểu thức được ghép từ nhiều đơn thức bằng phép cộng (phép trừ được hiểu là cộng với số đối). Trong mỗi hạng tử, phần số gọi là hệ số, phần chứa biến gọi là phần biến; các hạng tử có cùng phần biến gọi là hạng tử đồng dạng.

Thu gọn đa thức

Thu gọn là cộng các hạng tử đồng dạng với nhau để đa thức không còn hai hạng tử nào đồng dạng.

Ví dụ 1: Thu gọn Q = 2x³ + 4x − x³ + 3 − 5x.

1. Nhóm hạng tử đồng dạng: (2x³ − x³) + (4x − 5x) + 3.
2. Cộng hệ số: x³ − x + 3.

Bậc của đa thức

• Bậc của một đơn thức (có hệ số khác 0) là tổng số mũ của tất cả các biến. Ví dụ −3x²y có bậc 2 + 1 = 3.
• Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất sau khi đã thu gọn.
• Số khác 0 là đa thức bậc 0. Số 0 gọi là đa thức không và không có bậc.

Ví dụ 2: Tìm bậc của P = 3x²y − 5xy³ + 2x + 7.

Hạng tử	Số mũ các biến	Bậc
3x²y	2 + 1	3
−5xy³	1 + 3	4
2x	1	1
7	không có biến	0

Bậc cao nhất là 4, nên P là đa thức bậc 4. Việc tính số mũ đòi hỏi bạn nắm chắc kiến thức lũy thừa.

Đa thức một biến và nghiệm của đa thức

Đa thức một biến (lớp 7) chỉ chứa một biến, thường được sắp xếp theo lũy thừa giảm dần, ví dụ P(x) = 2x³ − x² + 4x − 5. Khi đó 2 là hệ số cao nhất, −5 là hệ số tự do, bậc của đa thức là 3.

Số a là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(a) = 0.

Ví dụ 3: Cho P(x) = x² − 3x + 2. Tính P(1), P(2).

1. P(1) = 1 − 3 + 2 = 0.
2. P(2) = 4 − 6 + 2 = 0.
3. Vậy x = 1 và x = 2 là hai nghiệm của P(x).

Một đa thức một biến bậc n (khác đa thức không) có không quá n nghiệm. Đây là lý do phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm.

Phân loại đa thức thường gặp

Cách phân loại	Tên gọi	Ví dụ
Theo số hạng tử	Đơn thức (1 hạng tử)	−4x²
Theo số hạng tử	Nhị thức (2 hạng tử)	x + 5
Theo số hạng tử	Tam thức (3 hạng tử)	x² − 3x + 2
Theo bậc	Bậc nhất	2x − 7
Theo bậc	Bậc hai	x² + x + 1
Theo bậc	Bậc ba	x³ − 8

Các phép tính với đa thức

Cộng, trừ đa thức

Cho A = 2x² + 3x − 1 và B = x² − 5x + 4.

• A + B = (2x² + x²) + (3x − 5x) + (−1 + 4) = 3x² − 2x + 3.
• A − B = 2x² + 3x − 1 − x² + 5x − 4 = x² + 8x − 5.

Khi trừ, phải đổi dấu tất cả các hạng tử của B sau dấu trừ. Xem thêm các quy tắc đổi dấu trong biểu thức để tránh sai.

Nhân đa thức

Nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích.

Ví dụ 4: (x + 2)(x² − x + 3) = x³ − x² + 3x + 2x² − 2x + 6 = x³ + x² + x + 6.

Chia đa thức một biến

Ví dụ 5 (chia hết): (x³ − 8) : (x − 2) = x² + 2x + 4, vì (x − 2)(x² + 2x + 4) = x³ − 8.

Ví dụ 6 (chia có dư): (2x² + 3x + 5) : (x + 1).

1. 2x² : x = 2x; 2x(x + 1) = 2x² + 2x; lấy hiệu được x + 5.
2. x : x = 1; 1 · (x + 1) = x + 1; lấy hiệu được 4.
3. Thương là 2x + 1, dư 4. Kiểm tra: (x + 1)(2x + 1) + 4 = 2x² + 3x + 1 + 4 = 2x² + 3x + 5.

Ứng dụng của đa thức

Đa thức dùng để biểu diễn chu vi, diện tích, thể tích theo biến (ví dụ diện tích hình vuông cạnh x + 1 là x² + 2x + 1), làm nền tảng cho phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình và khảo sát hàm số bậc hai, bậc ba ở THPT.

Sai lầm thường gặp

• Tính bậc khi chưa thu gọn: 2x³ + x − 2x³ thực chất là đa thức bậc 1.
• Lấy số mũ lớn nhất thay vì tổng số mũ khi hạng tử có nhiều biến: x²y³ có bậc 5, không phải 3.
• Quên đổi dấu khi trừ đa thức hoặc khi bỏ ngoặc có dấu trừ phía trước.
• Cộng nhầm hạng tử không đồng dạng, ví dụ cộng x² với x.

Câu hỏi thường gặp

Đơn thức có phải là đa thức không?

Có. Mỗi đơn thức được coi là một đa thức có một hạng tử.

Đa thức 0 có bậc mấy?

Đa thức không (số 0) không có bậc. Còn một số khác 0 là đa thức bậc 0.

Bậc của đa thức nhiều biến tính thế nào?

Thu gọn đa thức, tính bậc từng hạng tử bằng tổng số mũ các biến, rồi lấy bậc lớn nhất.

Nghiệm của đa thức là gì?

Số a là nghiệm của đa thức P(x) nếu khi thay x = a thì P(a) = 0.