Quy tắc đổi dấu trong biểu thức, phương trình (kèm ví dụ)

Quy tắc đổi dấu cốt lõi gồm hai ý: khi bỏ dấu ngoặc có dấu “−” đằng trước thì phải đổi dấu tất cả số hạng trong ngoặc; khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của đẳng thức thì phải đổi dấu số hạng đó. Ngoài ra còn quy tắc dấu khi nhân chia, đổi dấu phân thức và đổi chiều bất phương trình.

1. Quy tắc dấu ngoặc

Đây là quy tắc đổi dấu đầu tiên học sinh gặp từ lớp 6 khi học số nguyên:

• Bỏ ngoặc có dấu “+” đằng trước: giữ nguyên dấu các số hạng trong ngoặc. Ví dụ: a + (b − c) = a + b − c.
• Bỏ ngoặc có dấu “−” đằng trước: đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc, dấu “+” thành “−”, dấu “−” thành “+”. Ví dụ: a − (b − c + d) = a − b + c − d.

Chiều ngược lại cũng đúng: khi đưa các số hạng vào trong ngoặc có dấu “−” đứng trước, ta phải đổi dấu chúng.

Ví dụ 1

Tính nhanh: (135 − 37) − (135 − 63).

Bỏ ngoặc: 135 − 37 − 135 + 63 = (135 − 135) + (63 − 37) = 0 + 26 = 26.

Ví dụ 2

Rút gọn: −(3x − 5 + 2y) + (x − y).

= −3x + 5 − 2y + x − y = −2x − 3y + 5.

2. Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức (hoặc phương trình), ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “+” đổi thành “−” và dấu “−” đổi thành “+”.

Tổng quát: nếu a + b = c thì a = c − b; nếu a − b = c thì a = c + b.

Ví dụ 3

Giải phương trình 2x − 7 = x + 3.

1. Chuyển x sang vế trái, chuyển −7 sang vế phải: 2x − x = 3 + 7.
2. Thu gọn: x = 10.
3. Thử lại: vế trái 2·10 − 7 = 13; vế phải 10 + 3 = 13. Vậy x = 10.

3. Quy tắc dấu khi nhân, chia

Khi nhân hoặc chia hai số, dấu của kết quả phụ thuộc dấu của hai thừa số:

Thừa số thứ nhất	Thừa số thứ hai	Kết quả (nhân hoặc chia)	Ví dụ
+	+	+	6 · 2 = 12
−	−	+	(−6) · (−2) = 12
+	−	−	6 : (−2) = −3
−	+	−	(−6) : 2 = −3

Mẹo nhớ: cùng dấu thì dương, khác dấu thì âm. Với tích nhiều thừa số: có số chẵn thừa số âm thì tích dương, số lẻ thừa số âm thì tích âm. Quy tắc này cũng giải thích vì sao lũy thừa bậc chẵn của số âm là số dương: (−2)⁴ = 16, còn (−2)³ = −8.

4. Đổi dấu hiệu và đổi dấu phân thức

Các đẳng thức đổi dấu hay dùng khi biến đổi đa thức và phân thức đại số (lớp 8):

• a − b = −(b − a)
• (a − b)² = (b − a)²
• (a − b)³ = −(b − a)³
• A/B = (−A)/(−B): đổi dấu cả tử và mẫu thì phân thức không đổi.
• −(A/B) = (−A)/B = A/(−B): đổi dấu tử hoặc mẫu thì phân thức đổi dấu.

Ví dụ 4

Rút gọn phân thức (1 − x)/(x² − 1) với x ≠ ±1.

1. Đổi dấu tử: 1 − x = −(x − 1).
2. Phân tích mẫu: x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
3. Rút gọn: −(x − 1)/[(x − 1)(x + 1)] = −1/(x + 1).

Kỹ thuật đổi dấu này rất hữu ích khi quy đồng, ví dụ đưa hai mẫu x − 2 và 2 − x về cùng một mẫu số chung là x − 2.

5. Đổi chiều bất phương trình

Với bất đẳng thức và bất phương trình, cần thêm một quy tắc đổi dấu đặc biệt:

• Chuyển vế: vẫn đổi dấu số hạng, giữ nguyên chiều bất phương trình.
• Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số dương: giữ nguyên chiều.
• Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số âm: phải đổi chiều bất phương trình.

Ví dụ 5

Giải bất phương trình −2x + 1 > 7.

1. Chuyển vế: −2x > 7 − 1, tức −2x > 6.
2. Chia hai vế cho −2 (số âm) nên đổi chiều: x < −3.
3. Kiểm tra với x = −4: −2·(−4) + 1 = 9 > 7, đúng. Vậy nghiệm là x < −3.

Sai lầm thường gặp khi đổi dấu

• Bỏ ngoặc có dấu “−” nhưng chỉ đổi dấu số hạng đầu tiên. Ví dụ viết sai: −(a − b) = −a − b; đúng phải là −a + b.
• Chuyển vế mà quên đổi dấu, hoặc đổi dấu cả những số hạng không chuyển.
• Nhầm −2² với (−2)²: −2² = −4 còn (−2)² = 4.
• Chia hai vế bất phương trình cho số âm mà không đổi chiều.

Câu hỏi thường gặp

Quy tắc đổi dấu học ở lớp mấy?

Quy tắc dấu ngoặc và quy tắc chuyển vế học ở lớp 6 khi học số nguyên; đổi dấu phân thức học ở lớp 8; đổi chiều bất phương trình học ở THCS (lớp 8 theo chương trình cũ, lớp 9 theo chương trình GDPT 2018) và mở rộng ở lớp 10.

Chuyển vế phép nhân có phải đổi dấu không?

Không. Với thừa số, ta chia hai vế cho thừa số đó (khác 0), không đổi dấu. Ví dụ 3x = 12 thì x = 12 : 3 = 4.

Vì sao (a − b)² = (b − a)²?

Vì a − b = −(b − a), mà bình phương của một số và số đối của nó bằng nhau, nên (a − b)² = (b − a)².

Bỏ ngoặc có dấu nhân với số âm thì sao?

Nhân số âm với từng số hạng trong ngoặc và áp dụng quy tắc dấu nhân. Ví dụ −3(x − 2) = −3x + 6.