Hàm số là gì? Định nghĩa, tập xác định và các dạng hàm số cơ bản

Định nghĩa hàm số: nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D, ta xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x, kí hiệu y = f(x). Khi đó x là biến số, D là tập xác định của hàm số.

Định nghĩa hàm số theo chương trình phổ thông

Trong sách giáo khoa, định nghĩa hàm số được phát biểu như sau: cho tập hợp khác rỗng D ⊂ ℝ. Nếu với mỗi giá trị của x thuộc D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc ℝ thì ta có một hàm số.

• x gọi là biến số (đối số).
• y = f(x) gọi là giá trị của hàm số tại x.
• D gọi là tập xác định của hàm số.
• Tập hợp tất cả các giá trị y nhận được gọi là tập giá trị.

Điểm mấu chốt nằm ở cụm “một và chỉ một”. Một giá trị x không được ứng với hai giá trị y khác nhau. Ngược lại, hai giá trị x khác nhau vẫn có thể cho cùng một giá trị y, ví dụ y = x² cho f(2) = f(−2) = 4.

Ví dụ: đâu là hàm số, đâu không phải?

• Bảng giá cước taxi theo quãng đường: mỗi quãng đường cho một mức tiền, nên giá tiền là hàm số của quãng đường.
• Quan hệ x² + y² = 1: với x = 0 có hai giá trị y = 1 và y = −1, nên y không phải hàm số của x.
• Đại lượng y tỉ lệ thuận với x theo công thức y = kx là một hàm số; xem thêm bài đại lượng tỉ lệ thuận.

Các cách cho một hàm số

1. Bằng bảng: liệt kê các cặp giá trị x và y tương ứng, ví dụ bảng nhiệt độ theo giờ trong ngày.
2. Bằng công thức: y = f(x), ví dụ y = 2x + 1. Đây là cách phổ biến nhất trong toán học.
3. Bằng đồ thị: tập hợp các điểm M(x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ, với x thuộc D.

Cách tìm tập xác định của hàm số

Khi hàm số cho bằng công thức mà không nói rõ tập xác định, ta hiểu tập xác định là tập các giá trị x làm cho biểu thức f(x) có nghĩa. Ba điều kiện hay gặp:

• Mẫu số khác 0.
• Biểu thức dưới căn bậc hai lớn hơn hoặc bằng 0.
• Biểu thức dưới căn bậc hai nằm ở mẫu thì phải lớn hơn 0.

Ví dụ có lời giải

1. y = 1/(x − 2): điều kiện x − 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2. Tập xác định D = ℝ \ {2}.
2. y = √(x − 3): điều kiện x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3. Tập xác định D = [3; +∞).
3. y = √x / (x − 1): điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1. Tập xác định D = [0; +∞) \ {1}.
4. y = 1/√(4 − x): điều kiện 4 − x > 0 ⇔ x < 4. Tập xác định D = (−∞; 4).

Tính đồng biến, nghịch biến và tính chẵn lẻ

Đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K. Với mọi x₁, x₂ thuộc K mà x₁ < x₂:

• Nếu f(x₁) < f(x₂) thì hàm số đồng biến (tăng) trên K: đồ thị đi lên từ trái sang phải.
• Nếu f(x₁) > f(x₂) thì hàm số nghịch biến (giảm) trên K: đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Với tập xác định D đối xứng (x thuộc D thì −x cũng thuộc D):

• Hàm số chẵn nếu f(−x) = f(x); đồ thị đối xứng qua trục tung. Ví dụ y = x², y = cos x.
• Hàm số lẻ nếu f(−x) = −f(x); đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Ví dụ y = x³, y = sin x.

Ví dụ: Xét f(x) = x³ − x. Ta có D = ℝ đối xứng và f(−x) = (−x)³ − (−x) = −x³ + x = −(x³ − x) = −f(x). Vậy f là hàm số lẻ.

Bảng các dạng hàm số cơ bản

Dạng hàm số	Công thức	Tập xác định	Đặc điểm đồ thị
Bậc nhất	y = ax + b (a ≠ 0)	ℝ	Đường thẳng; đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0
Bậc hai	y = ax² + bx + c (a ≠ 0)	ℝ	Parabol, đỉnh I(−b/(2a); −Δ/(4a))
Phân thức bậc nhất trên bậc nhất	y = (ax + b)/(cx + d)	ℝ \ {−d/c}	Hypebol, có tiệm cận đứng x = −d/c
Lượng giác	y = sin x, y = cos x	ℝ	Tuần hoàn chu kỳ 2π
Hàm số mũ	y = aˣ (0 < a ≠ 1)	ℝ	Luôn nằm trên trục hoành
Hàm số lôgarit	y = logₐx (0 < a ≠ 1)	(0; +∞)	Luôn nằm bên phải trục tung

Hàm số lượng giác cần đi kèm các công thức lượng giác; hàm số mũ dựa trên các tính chất của lũy thừa. Với hàm bậc nhất, hai đồ thị y = ax + b và y = a’x + b’ song song khi a = a’ và b ≠ b’, chi tiết ở bài điều kiện hai đường thẳng song song.

Ví dụ tính giá trị hàm số

Cho f(x) = x² − 3x + 2. Tính f(0), f(1), f(−2).

• f(0) = 0 − 0 + 2 = 2.
• f(1) = 1 − 3 + 2 = 0.
• f(−2) = 4 + 6 + 2 = 12.

Sai lầm thường gặp

• Cho rằng hai giá trị x khác nhau phải cho hai giá trị y khác nhau. Điều này không cần thiết.
• Quên điều kiện mẫu khác 0 khi căn thức nằm ở mẫu, dẫn đến lấy cả dấu bằng.
• Kết luận hàm chẵn, lẻ khi tập xác định không đối xứng.

Câu hỏi thường gặp

Định nghĩa hàm số ngắn gọn nhất là gì?

Hàm số là quy tắc cho mỗi giá trị x thuộc tập xác định tương ứng với đúng một giá trị y.

Hàm hằng có phải là hàm số không?

Có. Hàm hằng y = c vẫn là hàm số vì mỗi x chỉ ứng với một giá trị y là c; đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng trục hoành.

Tập xác định và tập giá trị khác nhau thế nào?

Tập xác định là tập các giá trị x được phép thay vào; tập giá trị là tập các giá trị y mà hàm số nhận được.

Đường tròn có phải đồ thị của một hàm số không?

Không. Một đường thẳng đứng cắt đường tròn tại hai điểm, tức một giá trị x ứng với hai giá trị y, trái với định nghĩa hàm số.