7 hằng đẳng thức đáng nhớ: công thức và ví dụ

7 hằng đẳng thức đáng nhớ là: (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; a² − b² = (a − b)(a + b); (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³; (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³; a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).

Bảng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

STT	Tên gọi	Công thức
1	Bình phương của một tổng	(a + b)² = a² + 2ab + b²
2	Bình phương của một hiệu	(a − b)² = a² − 2ab + b²
3	Hiệu hai bình phương	a² − b² = (a − b)(a + b)
4	Lập phương của một tổng	(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
5	Lập phương của một hiệu	(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
6	Tổng hai lập phương	a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
7	Hiệu hai lập phương	a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Trong đó a, b có thể là số, biến hoặc cả biểu thức. Các biểu thức a² − ab + b² và a² + ab + b² trong hằng đẳng thức 6 và 7 thường được gọi là bình phương thiếu của hiệu và bình phương thiếu của tổng.

Mẹo nhớ nhanh

• Bình phương: bình phương số đầu, cộng hoặc trừ hai lần tích, cộng bình phương số sau.
• Lập phương: các hệ số lần lượt là 1, 3, 3, 1; số mũ của a giảm dần, của b tăng dần. Với hiệu thì dấu đan xen + − + −.
• Tổng, hiệu hai lập phương: thừa số đầu cùng dấu với vế trái; thừa số sau là “bình phương thiếu” có dấu ở giữa ngược lại (tổng thì trừ, hiệu thì cộng).

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Khai triển (2x + 3)². Áp dụng hằng đẳng thức 1 với a = 2x, b = 3: (2x)² + 2·2x·3 + 3² = 4x² + 12x + 9.

Ví dụ 2. Khai triển (3x − 1)². a = 3x, b = 1: 9x² − 2·3x·1 + 1 = 9x² − 6x + 1.

Ví dụ 3. Tính nhẩm 101² và 99². 101² = (100 + 1)² = 10.000 + 200 + 1 = 10.201. 99² = (100 − 1)² = 10.000 − 200 + 1 = 9.801.

Ví dụ 4. Tính nhẩm 51 × 49. 51 × 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 50² − 1² = 2.500 − 1 = 2.499.

Ví dụ 5. Khai triển (x + 2)³. x³ + 3·x²·2 + 3·x·2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8.

Ví dụ 6. Khai triển (2x − 1)³. (2x)³ − 3·(2x)²·1 + 3·2x·1² − 1 = 8x³ − 12x² + 6x − 1.

Ví dụ 7. Phân tích 9x² − 16 thành nhân tử. 9x² − 16 = (3x)² − 4² = (3x − 4)(3x + 4).

Ví dụ 8. Phân tích 8x³ − 1 thành nhân tử. 8x³ − 1 = (2x)³ − 1³ = (2x − 1)(4x² + 2x + 1).

Ví dụ 9. Phân tích x³ + 27 thành nhân tử. x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3)(x² − 3x + 9).

Ứng dụng của hằng đẳng thức

1. Phân tích đa thức thành nhân tử để rút gọn phân thức, giải phương trình tích.
2. Tính nhẩm các bình phương hoặc tích gần số tròn.
3. Chứng minh bất đẳng thức: chẳng hạn từ (a − b)² ≥ 0 suy ra a² + b² ≥ 2ab.
4. Biến đổi biểu thức có lũy thừa; xem thêm bài lũy thừa để nắm quy tắc về số mũ.
5. Giải phương trình bậc cao bằng cách đưa về dạng tích, như trong bài phương trình bậc 3 có bao nhiêu nghiệm.

Sai lầm thường gặp

• Viết (a + b)² = a² + b², thiếu số hạng 2ab.
• Nhầm dấu trong (a − b)³: các dấu phải đan xen.
• Nhầm a² − ab + b² với (a − b)²: hai biểu thức này khác nhau (hệ số của ab là −1, không phải −2).

Khi phân thức có mẫu là các biểu thức dạng này, bạn dùng thêm kỹ năng tìm mẫu số chung. Ở các lớp trên, hằng đẳng thức còn xuất hiện khi biến đổi các công thức lượng giác, ví dụ sin²x + cos²x = 1 giúp biến đổi (sin x + cos x)² = 1 + 2sin x cos x.

Câu hỏi thường gặp

Có bao nhiêu hằng đẳng thức đáng nhớ?

Chương trình Toán 8 giới thiệu 7 hằng đẳng thức đáng nhớ: bình phương của tổng, bình phương của hiệu, hiệu hai bình phương, lập phương của tổng, lập phương của hiệu, tổng hai lập phương, hiệu hai lập phương.

Hằng đẳng thức dùng để làm gì?

Dùng để khai triển, rút gọn biểu thức, phân tích đa thức thành nhân tử, tính nhẩm và giải phương trình.

Làm sao nhớ dấu của các hằng đẳng thức?

Với tổng hoặc hiệu hai lập phương, thừa số thứ nhất cùng dấu với vế trái; ở thừa số thứ hai, dấu của ab ngược dấu với thừa số thứ nhất (tổng thì −ab, hiệu thì +ab), còn b² luôn dương.

(a + b)² có bằng a² + b² không?

Không. (a + b)² = a² + 2ab + b², còn thiếu số hạng 2ab.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán 8 (chương trình giáo dục phổ thông Việt Nam)