Cách tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) đơn giản, nhanh nhất

Cách tìm ước chung lớn nhất nhanh và chuẩn nhất là phân tích các số ra thừa số nguyên tố, chọn các thừa số nguyên tố chung rồi lấy mỗi thừa số với số mũ nhỏ nhất; tích của chúng chính là ƯCLN. Với hai số lớn, thuật toán Euclid (chia liên tiếp lấy số dư) thường còn nhanh hơn.

Ước chung lớn nhất (ƯCLN) là gì?

• Ước của một số: b là ước của a nếu a chia hết cho b. Ví dụ các ước của 12 là 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Ước chung: số vừa là ước của số này vừa là ước của số kia, kí hiệu ƯC(a, b).
• Ước chung lớn nhất: số lớn nhất trong tập ước chung, kí hiệu ƯCLN(a, b).

Tính chất quan trọng: mọi ước chung đều là ước của ƯCLN. Vì vậy muốn tìm ƯC(a, b), ta tìm ƯCLN trước rồi liệt kê các ước của nó.

Cách 1: Liệt kê các ước (dùng cho số nhỏ)

1. Liệt kê tất cả ước của từng số.
2. Tìm các ước chung.
3. Chọn số lớn nhất.

Ví dụ: Tìm ƯCLN(12, 18).

• Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
• Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}
• ƯC(12, 18) = {1; 2; 3; 6}, nên ƯCLN(12, 18) = 6.

Cách này trực quan nhưng dễ sót ước khi số lớn.

Cách 2: Phân tích ra thừa số nguyên tố (cách chuẩn SGK)

1. Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố, viết gọn dưới dạng lũy thừa.
2. Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
3. Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN.

Ví dụ: Tìm ƯCLN(36, 84)

• 36 = 2²·3²; 84 = 2²·3·7.
• Thừa số chung: 2 và 3 (7 là thừa số riêng, bỏ đi).
• Số mũ nhỏ nhất: 2² và 3¹.
• ƯCLN(36, 84) = 2²·3 = 12.

Ví dụ: Tìm ƯCLN của 3 số 24, 36, 60

• 24 = 2³·3; 36 = 2²·3²; 60 = 2²·3·5.
• Thừa số chung của cả ba số: 2 và 3.
• ƯCLN(24, 36, 60) = 2²·3 = 12.

Nếu các số không có thừa số nguyên tố chung nào thì ƯCLN = 1.

Cách 3: Thuật toán Euclid (nhanh nhất với số lớn)

Thuật toán dựa trên tính chất: ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, r), trong đó r là số dư khi chia a cho b. Ta chia liên tiếp cho đến khi số dư bằng 0; số chia cuối cùng chính là ƯCLN.

Ví dụ: Tìm ƯCLN(252, 198).

Bước	Phép chia	Số dư
1	252 = 198 · 1 + 54	54
2	198 = 54 · 3 + 36	36
3	54 = 36 · 1 + 18	18
4	36 = 18 · 2 + 0	0

Số chia cuối cùng là 18, vậy ƯCLN(252, 198) = 18. Kiểm tra bằng cách 2: 252 = 2²·3²·7 và 198 = 2·3²·11, nên ƯCLN = 2·3² = 18, khớp kết quả.

Trong ba cách trên, cách tìm ước chung lớn nhất bằng phân tích thừa số nguyên tố là cách nên trình bày trong bài kiểm tra, còn thuật toán Euclid giúp kiểm tra nhanh đáp số.

Các trường hợp đặc biệt

• Nếu a chia hết cho b thì ƯCLN(a, b) = b. Ví dụ ƯCLN(45, 15) = 15.
• ƯCLN(a, 1) = 1 với mọi số tự nhiên a.
• Nếu ƯCLN(a, b) = 1 thì a và b gọi là hai số nguyên tố cùng nhau. Ví dụ 8 và 15.

So sánh cách tìm ƯCLN và BCNN

Hai khái niệm này rất dễ lẫn vì cùng dùng phân tích thừa số nguyên tố. Xem bảng tóm tắt dưới đây và bài chi tiết về bội chung nhỏ nhất.

Tiêu chí	ƯCLN	BCNN
Chọn thừa số	Chỉ thừa số chung	Thừa số chung và riêng
Số mũ	Nhỏ nhất	Lớn nhất
So với các số đã cho	Nhỏ hơn hoặc bằng số nhỏ nhất	Lớn hơn hoặc bằng số lớn nhất
Ví dụ với 12 và 18	6	36

Với hai số a, b khác 0 luôn có: ƯCLN(a, b) · BCNN(a, b) = a · b. Thử lại: 6 · 36 = 216 = 12 · 18.

Ứng dụng của ƯCLN

Rút gọn phân số về tối giản

Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN của chúng sẽ được phân số tối giản ngay trong một bước. Ví dụ 36/84: ƯCLN(36, 84) = 12, nên 36/84 = 3/7.

Bài toán chia đều

Có 24 bút và 36 quyển vở, muốn chia thành các phần quà như nhau, mỗi phần có cả bút và vở. Chia được nhiều nhất bao nhiêu phần quà?

Giải: Số phần quà phải là ước chung của 24 và 36, nhiều nhất là ƯCLN(24, 36). Ta có 24 = 2³·3, 36 = 2²·3², nên ƯCLN = 2²·3 = 12. Vậy chia được nhiều nhất 12 phần quà, mỗi phần gồm 2 bút và 3 quyển vở.

Sai lầm thường gặp

• Lấy cả thừa số riêng hoặc lấy số mũ lớn nhất (đó là cách tìm BCNN).
• Phân tích thừa số nguyên tố chưa hết, ví dụ để 84 = 4·21 mà không tách tiếp 4 = 2² và 21 = 3·7.
• Trong thuật toán Euclid, lấy số dư cuối cùng (bằng 0) làm kết quả; đúng phải là số chia cuối cùng.

Câu hỏi thường gặp

ƯCLN là viết tắt của gì?

ƯCLN là viết tắt của ước chung lớn nhất, tiếng Anh là Greatest Common Divisor (GCD).

Cách tìm ước chung lớn nhất nào nhanh nhất?

Với số nhỏ, liệt kê ước hoặc tính nhẩm là đủ. Với số lớn, thuật toán Euclid thường nhanh nhất vì không cần phân tích thừa số nguyên tố.

ƯCLN của hai số nguyên tố khác nhau bằng bao nhiêu?

Bằng 1, vì hai số nguyên tố khác nhau không có ước chung nào khác 1.

Máy tính cầm tay có tìm được ƯCLN không?

Một số dòng máy tính cầm tay đời mới có sẵn hàm GCD để tìm ƯCLN và LCM để tìm BCNN. Tuy vậy, khi làm bài tự luận bạn vẫn cần trình bày cách phân tích.