Phương sai là gì? Công thức và ý nghĩa của phương sai

Phương sai là trung bình của bình phương các độ lệch giữa từng giá trị và số trung bình của dãy số liệu. Phương sai càng lớn thì dữ liệu càng phân tán, càng nhỏ thì các giá trị càng gần nhau và càng ổn định. Ký hiệu thường dùng là σ² cho tổng thể và s² cho mẫu.

Công thức tính phương sai

Gọi dãy số liệu là x₁, x₂, …, x_n. Trước tiên tính số trung bình:

x̄ = (x₁ + x₂ + … + x_n) ÷ n

Sau đó áp dụng một trong hai công thức sau, tùy vào việc dãy số là toàn bộ tổng thể hay chỉ là một mẫu:

Trường hợp	Công thức	Chia cho
Phương sai tổng thể (σ²)	σ² = Σ(xi − x̄)² ÷ n	n
Phương sai mẫu (s²)	s² = Σ(xi − x̄)² ÷ (n − 1)	n − 1

Chương trình phổ thông Việt Nam dùng công thức chia cho n khi xem dãy số liệu đã cho là toàn bộ dữ liệu cần mô tả. Công thức chia cho n − 1 xuất hiện khi dãy số chỉ là mẫu lấy ra từ một tổng thể lớn hơn, nhằm tránh đánh giá thấp độ phân tán thật của tổng thể. Trên máy tính cầm tay, hai giá trị này ứng với hai ký hiệu σ_x và s_x.

Còn một cách viết khác rất tiện khi tính tay:

σ² = (trung bình của các x_i²) − (x̄)²

Ví dụ tính phương sai từng bước

Ví dụ 1. Điểm 5 bài kiểm tra của một bạn: 6; 7; 8; 9; 10.

1. Số trung bình: x̄ = (6 + 7 + 8 + 9 + 10) ÷ 5 = 40 ÷ 5 = 8.
2. Các độ lệch: −2; −1; 0; 1; 2.
3. Bình phương các độ lệch: 4; 1; 0; 1; 4. Tổng bằng 10.
4. Phương sai tổng thể: σ² = 10 ÷ 5 = 2.
5. Nếu coi đây là mẫu: s² = 10 ÷ 4 = 2,5.
6. Độ lệch chuẩn: σ = √2 ≈ 1,41 điểm.

Ví dụ 2. So sánh hai bạn cùng có điểm trung bình 8.

• Bạn A: 7; 8; 8; 8; 9. Độ lệch là −1; 0; 0; 0; 1, bình phương cộng lại được 2, nên σ² = 2 ÷ 5 = 0,4.
• Bạn B: 5; 6; 8; 10; 11. Độ lệch là −3; −2; 0; 2; 3, bình phương cộng lại được 26, nên σ² = 26 ÷ 5 = 5,2.

Hai bạn có cùng điểm trung bình nhưng phương sai chênh nhau 13 lần. Bạn A học đều, bạn B thì thất thường. Đây chính là điều mà số trung bình không nói ra được.

Thử lại ví dụ của bạn A bằng công thức rút gọn: trung bình các bình phương là (49 + 64 + 64 + 64 + 81) ÷ 5 = 322 ÷ 5 = 64,4; trừ đi x̄² = 64 ta được 0,4, khớp với kết quả trên.

Ý nghĩa của phương sai

• Đo mức phân tán. Đây là ý nghĩa của phương sai quan trọng nhất: nó cho biết các giá trị bám sát số trung bình đến đâu.
• Phương sai bằng 0 khi và chỉ khi mọi giá trị đều bằng nhau. Phương sai không bao giờ âm, vì nó là trung bình của các bình phương.
• Dùng để so sánh độ ổn định. Trong sản xuất, hai dây chuyền cùng kích thước trung bình nhưng dây nào phương sai nhỏ hơn thì cho sản phẩm đều tay hơn.
• Trong tài chính, phương sai của lợi suất được xem như một thước đo mức dao động, nên hai kênh đầu tư cùng mức sinh lời bình quân vẫn có thể rất khác nhau về rủi ro.
• Đơn vị bị bình phương. Nếu dữ liệu tính bằng cm thì phương sai có đơn vị cm². Vì vậy khi cần một con số cùng đơn vị với dữ liệu, người ta lấy căn bậc hai để có độ lệch chuẩn.

Phương sai và độ lệch chuẩn khác nhau ở đâu?

Hiểu ý nghĩa của phương sai rồi, bạn sẽ thấy hai đại lượng này chỉ là hai cách trình bày cùng một thông tin.

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: σ = √(σ²). Hai đại lượng cùng mô tả một tính chất, nhưng độ lệch chuẩn dễ diễn giải hơn vì giữ nguyên đơn vị gốc. Nói “điểm dao động khoảng 1,41 điểm quanh mức 8” nghe trực quan hơn hẳn so với “phương sai bằng 2”.

Ngược lại, phương sai thuận lợi khi biến đổi đại số, vì phương sai của tổng hai biến độc lập bằng tổng hai phương sai. Phép tính này dựa nhiều vào lũy thừa bậc hai, nên khi làm bài bạn cần cẩn thận với dấu và với thứ tự phép tính.

Lỗi thường gặp khi tính phương sai

• Quên bình phương độ lệch. Nếu chỉ cộng các độ lệch, kết quả luôn bằng 0 vì phần âm và phần dương triệt tiêu nhau.
• Dùng lẫn n và n − 1. Hãy đọc kỹ đề: dữ liệu là toàn bộ hay chỉ là mẫu.
• Làm tròn quá sớm. Nên giữ nguyên phân số hoặc số thập phân đầy đủ tới bước cuối rồi mới làm tròn.
• Lẫn phương sai với số trung bình. Trung bình cho biết mức tâm của dữ liệu, phương sai cho biết độ tản ra quanh mức tâm đó.
• Quên rằng phương sai rất nhạy với giá trị bất thường. Một số liệu lệch hẳn sẽ bị bình phương và đẩy phương sai lên cao, nên hãy kiểm tra dữ liệu nhập trước khi kết luận, giống như khi xác định tập xác định của một hàm số.

Câu hỏi thường gặp

Phương sai có thể là số âm không?

Không. Phương sai là trung bình của các bình phương nên luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Nếu tính ra số âm thì chắc chắn có sai sót trong phép tính.

Phương sai bằng 0 nghĩa là gì?

Nghĩa là mọi giá trị trong dãy đều bằng nhau và bằng số trung bình, dữ liệu không có dao động nào.

Khi nào chia cho n, khi nào chia cho n − 1?

Chia cho n khi dãy số liệu là toàn bộ tổng thể cần mô tả. Chia cho n − 1 khi dãy đó chỉ là một mẫu đại diện và bạn muốn ước lượng phương sai của tổng thể.

Phương sai lớn thì tốt hay xấu?

Tùy mục đích. Với chất lượng sản phẩm hay điểm học tập, phương sai nhỏ là dấu hiệu tốt vì cho thấy sự ổn định. Trong một số bài toán khác, độ biến động lớn lại là thông tin cần thiết, không phải điều xấu.

Tính phương sai trên máy tính cầm tay thế nào?

Bạn vào chế độ thống kê, nhập dãy số liệu rồi gọi kết quả. Máy thường cho hai giá trị độ lệch chuẩn: σ_x ứng với công thức chia n và s_x ứng với công thức chia n − 1. Bình phương giá trị cần dùng là ra phương sai.