Bội và ước của một số nguyên – Toán lớp 6

Với hai số nguyên a và b (b ≠ 0), nếu có số nguyên q sao cho a = b · q thì ta nói a chia hết cho b, khi đó a là bội của b và b là ước của a. Theo định nghĩa này, ước của 6 gồm 8 số: −6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6.

Định nghĩa bội và ước của một số nguyên

Cho a, b ∈ Z và b ≠ 0. Nếu tồn tại q ∈ Z để a = b · q thì a ⋮ b. Lúc đó:

• a là bội của b;
• b là ước của a.

Điểm mới so với bài ước và bội trong tập số tự nhiên ở đầu lớp 6 là: bây giờ ta xét cả số âm. Vì (−2) · (−3) = 6 nên −2 và −3 cũng là ước của 6. Đây là lý do một số nguyên dương luôn có số ước chẵn khi xét trong Z: các ước đi theo từng cặp đối nhau.

Ba trường hợp cần nhớ riêng: số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0; số 0 không là ước của số nào; còn 1 và −1 là ước của mọi số nguyên.

Cách tìm ước của một số nguyên

1. Bỏ dấu, tìm tất cả ước tự nhiên của giá trị tuyệt đối. Cách nhanh là thử lần lượt các số từ 1 đến √|a| rồi lấy thêm thương tương ứng.
2. Thêm dấu âm cho từng ước vừa tìm được.
3. Sắp xếp lại theo thứ tự tăng dần nếu đề yêu cầu, dựa trên thứ tự trong tập hợp các số nguyên.

Ví dụ với 6: lần lượt 6 = 1 · 6 = 2 · 3, nên ước tự nhiên là 1; 2; 3; 6. Thêm dấu âm ta được đủ 8 ước cần tìm.

Số a	Ước tự nhiên của |a|	Tập các ước trong Z	Số ước
6	1; 2; 3; 6	±1; ±2; ±3; ±6	8
−6	1; 2; 3; 6	±1; ±2; ±3; ±6	8
8	1; 2; 4; 8	±1; ±2; ±4; ±8	8
9	1; 3; 9	±1; ±3; ±9	6
12	1; 2; 3; 4; 6; 12	±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12	12
7	1; 7	±1; ±7	4

Cách tìm bội của một số nguyên

Bội của b là các số b · q với q ∈ Z. Vì q có vô hạn giá trị nên mỗi số nguyên khác 0 có vô số bội.

Ví dụ các bội của 3 là: …; −9; −6; −3; 0; 3; 6; 9; …

Tính chất chia hết cần thuộc

• Nếu a ⋮ b và b ⋮ c thì a ⋮ c (tính chất bắc cầu).
• Nếu a ⋮ b thì a · m ⋮ b với mọi m ∈ Z.
• Nếu a ⋮ c và b ⋮ c thì (a + b) ⋮ c và (a − b) ⋮ c. Đây chính là tính chất chia hết của một tổng mở rộng sang số nguyên.

Bài tập có lời giải

Bài 1. Tìm các ước của 6 rồi tính tổng của chúng.

Lời giải: ước của 6 là −6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6. Các ước đi thành cặp đối nhau nên tổng bằng 0.

Bài 2. Tìm x ∈ Z biết x là ước của 6 và x > 2.

Lời giải: trong 8 ước của 6, các số lớn hơn 2 là 3 và 6. Vậy x ∈ {3; 6}.

Bài 3. Tìm x ∈ Z sao cho (x + 1) là ước của 6.

Lời giải: x + 1 ∈ {−6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6}. Trừ 1 ở mỗi giá trị, ta được x ∈ {−7; −4; −3; −2; 0; 1; 2; 5}.

Bài 4. Chứng tỏ rằng nếu a ⋮ 6 thì a ⋮ 2 và a ⋮ 3.

Lời giải: a ⋮ 6 nghĩa là a = 6q. Khi đó a = 2 · (3q) nên a ⋮ 2; đồng thời a = 3 · (2q) nên a ⋮ 3.

Lỗi học sinh thường mắc

• Quên các ước âm. Trong tập Z, số 6 phải có 8 ước chứ không phải 4 ước.
• Nhầm bội với ước. 6 là bội của 2, còn 2 là ước của 6; thứ tự không đảo được.
• Cho rằng 0 là ước của 0. Phép chia cho 0 không có nghĩa, nên 0 không bao giờ là ước.
• Lẫn ước chung với ước riêng. Khi bài hỏi hai số, hãy dùng cách tìm ước chung lớn nhất hoặc bội chung nhỏ nhất cho đúng yêu cầu.
• Bỏ dấu sai khi chuyển vế. Xem lại quy tắc chuyển vế.

Câu hỏi thường gặp

Ước của 6 gồm những số nào?

Trong tập số nguyên, ước của 6 là −6; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 6 — tổng cộng 8 ước. Nếu chỉ xét số tự nhiên thì ước của 6 là 1; 2; 3; 6.

Số 0 là bội hay ước của mọi số?

Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0, vì 0 = b·0. Ngược lại, 0 không bao giờ là ước của số nào, do không chia được cho 0.

Một số nguyên có bao nhiêu bội?

Vô số. Bội của số nguyên a khác 0 là các số a·q với q chạy khắp tập số nguyên, nên có vô hạn bội cả âm lẫn dương, trong đó có cả số 0.

Số −1 và 1 là ước của những số nào?

1 và −1 là ước của mọi số nguyên, vì a = 1·a và a = (−1)·(−a). Vì vậy khi liệt kê ước, đừng quên hai số này.

Tìm ước của một số âm thế nào?

Ước của a và ước của −a là như nhau. Chẳng hạn ước của −6 cũng chính là 8 số: ±1; ±2; ±3; ±6.