Thứ tự trong tập hợp các số nguyên – Toán lớp 6

Trên trục số nằm ngang, số nguyên nào ở bên trái thì nhỏ hơn số ở bên phải. Từ đó suy ra: mọi số âm đều nhỏ hơn 0 và nhỏ hơn mọi số nguyên dương; trong hai số âm, số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì lại nhỏ hơn. Vì vậy −7 < −5.

Tập hợp số nguyên và trục số

Tập hợp các số nguyên được kí hiệu là ℤ, gồm ba nhóm: các số nguyên dương 1, 2, 3, …; số 0; và các số nguyên âm −1, −2, −3, …

Để sắp thứ tự, ta vẽ trục số: điểm 0 làm gốc, chiều dương hướng sang phải. Các số nguyên dương nằm bên phải số 0, còn số âm nằm bên trái số 0 theo đúng thứ tự …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … Khoảng cách giữa hai số liền nhau luôn bằng nhau, nên trục số cho ta một hình ảnh trực quan về thứ tự.

Quy tắc so sánh hai số nguyên

• Số nguyên âm luôn nhỏ hơn 0, còn số nguyên dương luôn lớn hơn 0. Ví dụ: −4 < 0 < 4.
• Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn mọi số nguyên dương. Ví dụ: −100 < 1.
• Hai số nguyên dương: so sánh như số tự nhiên, số nào nhiều đơn vị hơn thì lớn hơn. Ví dụ: 12 > 7.
• Hai số nguyên âm: số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì nhỏ hơn. Ví dụ: |−9| = 9 > |−2| = 2 nên −9 < −2.

Cách dễ hình dung nhất là nghĩ về nhiệt độ. Một ngày −9 °C lạnh hơn ngày −2 °C, nên −9 nhỏ hơn −2. Đây chính là chỗ nhiều bạn nhầm khi mới làm quen với phần này.

Giá trị tuyệt đối của một số nguyên

Giá trị tuyệt đối của số nguyên a, viết là |a|, là khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số. Vì khoảng cách không bao giờ âm nên |a| ≥ 0 với mọi a.

Số nguyên a	|a|	Giải thích
8	8	Điểm 8 cách gốc 0 đúng 8 đơn vị
−8	8	Điểm −8 cũng cách gốc 0 đúng 8 đơn vị
0	0	Khoảng cách từ 0 đến chính nó bằng 0
−15	15	Hai số đối nhau có cùng giá trị tuyệt đối

Hai số như 8 và −8 được gọi là hai số đối nhau. Số đối của một số nguyên dương là một số âm, và ngược lại; số đối của 0 là chính 0.

Bài tập có lời giải

Bài 1. So sánh các cặp số sau: −7 và −5; −3 và 2; 0 và −1.

• |−7| = 7 > |−5| = 5, hai số đều âm nên −7 < −5.
• −3 là số âm, 2 là số dương, do đó −3 < 2.
• Số âm nhỏ hơn 0, nên −1 < 0, tức là 0 > −1.

Bài 2. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: 4; −12; 0; 9; −3; −7.

Trước hết tách riêng các số âm: −12; −3; −7. So giá trị tuyệt đối 12 > 7 > 3 nên thứ tự tăng dần của chúng là −12; −7; −3. Tiếp theo là số 0, rồi đến các số dương 4 và 9. Kết quả: −12; −7; −3; 0; 4; 9.

Bài 3. Tìm tất cả số nguyên x sao cho −4 < x ≤ 2.

x phải lớn hơn −4 nên bỏ −4, và nhỏ hơn hoặc bằng 2 nên nhận cả 2. Vậy x ∈ {−3; −2; −1; 0; 1; 2}, tất cả có 6 giá trị.

Bài 4. Số nguyên âm lớn nhất là số nào?

Các số âm xếp trên trục số là …, −3, −2, −1 và càng sang phải càng lớn. Số gần 0 nhất là −1, nên số nguyên âm lớn nhất là −1. Ngược lại, không tồn tại số nguyên âm nhỏ nhất vì dãy số âm kéo dài vô hạn.

Lỗi thường gặp khi so sánh số nguyên

• So sánh hai số đối nhau như số tự nhiên. Thấy 7 > 5 rồi kết luận −7 > −5 là sai. Hãy luôn nhớ dấu trừ làm đảo thứ tự.
• Nhầm giá trị tuyệt đối với chính số đó. |−6| = 6 chứ không phải −6.
• Bỏ sót số 0 khi liệt kê. Trong bài tìm x thỏa mãn bất đẳng thức, số 0 cũng là một số nguyên hợp lệ.
• Quên dấu khi chuyển vế. Phần này liên quan trực tiếp tới quy tắc chuyển vế và quy tắc dấu ngoặc mà bạn sẽ học ngay sau bài này.

Nắm chắc thứ tự trong ℤ sẽ giúp bạn học tiếp phần bội và ước của một số nguyên dễ dàng hơn, vì khi đó vừa phải xét giá trị tuyệt đối, vừa phải xét dấu.

Câu hỏi thường gặp

Vì sao −7 nhỏ hơn −5?

Vì trên trục số, điểm −7 nằm bên trái điểm −5. Nói cách khác, −7 cách 0 xa hơn về phía âm nên nó nhỏ hơn.

Số 0 là số âm hay số dương?

Số 0 không âm cũng không dương. Nó là ranh giới giữa hai nhóm, lớn hơn mọi số nguyên âm và nhỏ hơn mọi số nguyên dương.

Giá trị tuyệt đối có thể bằng số âm không?

Không. Giá trị tuyệt đối là khoảng cách tới điểm 0 nên luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Chỉ có |0| = 0, còn lại đều dương.

Có bao nhiêu số nguyên nằm giữa −5 và 5?

Nếu không tính hai đầu, đó là các số từ −4 đến 4, gồm 9 số nguyên. Nếu tính cả −5 và 5 thì có 11 số.

Làm sao nhớ nhanh quy tắc so sánh?

Hãy hình dung nhiệt độ hoặc tầng hầm của một tòa nhà: tầng hầm càng sâu thì số càng âm và càng nhỏ. Mẹo này giúp bạn phản xạ đúng mà không cần vẽ lại trục số.