Tính chất chia hết của một tổng – Toán lớp 6 bài 10

Tính chất chia hết của một tổng trong Toán lớp 6 bài 10 gồm hai ý: nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho m thì tổng chia hết cho m; nếu chỉ có một số hạng không chia hết cho m còn các số hạng khác đều chia hết cho m thì tổng không chia hết cho m. Nhờ vậy ta xét được tổng mà không cần cộng ra kết quả.

Nhắc lại quan hệ chia hết

Với hai số tự nhiên a và b (b khác 0), ta nói a chia hết cho b nếu có số tự nhiên k sao cho a = b · k. Khi đó viết a ⋮ b; nếu không chia hết thì nói “a không chia hết cho b”.

Ví dụ 24 ⋮ 6 vì 24 = 6 · 4. Còn 25 không chia hết cho 6 vì 25 chia 6 được 4 và còn dư 1. Khái niệm này gắn liền với bội và ước, bạn có thể xem thêm ở bài bội và ước của một số nguyên.

Tính chất 1

Nếu a ⋮ m và b ⋮ m thì (a + b) ⋮ m.

Tính chất này vẫn đúng với hiệu (khi a ≥ b) và với tổng của nhiều số hạng:

• Nếu a ⋮ m và b ⋮ m thì (a − b) ⋮ m.
• Nếu a ⋮ m, b ⋮ m và c ⋮ m thì (a + b + c) ⋮ m.

Lý do rất trực quan: nếu a = m · k và b = m · l thì a + b = m · (k + l), nên tổng cũng là một bội của m.

Tính chất 2

Nếu a không chia hết cho m mà b ⋮ m thì (a + b) không chia hết cho m.

Mở rộng: trong một tổng, nếu có đúng một số hạng không chia hết cho m và mọi số hạng còn lại đều chia hết cho m thì tổng không chia hết cho m. Tính chất này cũng áp dụng cho hiệu.

Chú ý quan trọng

Nếu hai số hạng đều không chia hết cho m thì chưa thể kết luận gì về tổng. Hãy xem hai ví dụ trái ngược nhau:

• 5 và 7 đều không chia hết cho 3, nhưng 5 + 7 = 12 lại chia hết cho 3.
• 5 và 8 đều không chia hết cho 3, và 5 + 8 = 13 cũng không chia hết cho 3.

Vì vậy khi gặp trường hợp này, cách an toàn là tính tổng ra rồi mới xét.

Bài luyện tập có lời giải

Bài 1. Không tính tổng, xét xem 80 + 16 có chia hết cho 8 không.

1. 80 ⋮ 8 vì 80 = 8 · 10.
2. 16 ⋮ 8 vì 16 = 8 · 2.
3. Theo tính chất 1, tổng chia hết cho 8. Kiểm tra lại: 80 + 16 = 96 = 8 · 12, đúng.

Bài 2. Xét 80 + 17 có chia hết cho 8 không.

1. 80 ⋮ 8 nhưng 17 không chia hết cho 8 (17 = 8 · 2 + 1).
2. Theo tính chất 2, tổng không chia hết cho 8. Kiểm tra: 97 = 8 · 12 + 1, đúng.

Bài 3. Xét tổng 35 + 49 + 210 có chia hết cho 7 không.

1. 35 = 7 · 5, 49 = 7 · 7, 210 = 7 · 30, cả ba số hạng đều chia hết cho 7.
2. Vậy tổng chia hết cho 7. Kiểm tra: 35 + 49 + 210 = 294 = 7 · 42.

Bài 4. Xét A = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 + 42 có chia hết cho 6 không.

1. Tích 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720 chứa thừa số 6 nên chia hết cho 6.
2. 42 ⋮ 6 vì 42 = 6 · 7.
3. Theo tính chất 1, A ⋮ 6. Kiểm tra: 720 + 42 = 762 = 6 · 127.

Bài 5. Xét B = 7 · 11 · 13 + 26 có chia hết cho 13 không.

1. 7 · 11 · 13 chứa thừa số 13 nên chia hết cho 13.
2. 26 = 13 · 2 nên 26 ⋮ 13.
3. Vậy B ⋮ 13. Kiểm tra: 1.001 + 26 = 1.027 = 13 · 79.

Bài 6. Tìm số tự nhiên x để tổng 36 + 45 + x chia hết cho 9.

1. 36 ⋮ 9 và 45 ⋮ 9.
2. Theo hai tính chất trên, tổng chia hết cho 9 khi và chỉ khi x ⋮ 9.
3. Vậy x thuộc tập các bội của 9: 0; 9; 18; 27; 36; …

Bảng dấu hiệu chia hết hay dùng kèm

Chia hết cho	Dấu hiệu	Ví dụ
2	Chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8	138 ⋮ 2
3	Tổng các chữ số chia hết cho 3	261 ⋮ 3 vì 2 + 6 + 1 = 9
5	Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5	475 ⋮ 5
9	Tổng các chữ số chia hết cho 9	738 ⋮ 9 vì 7 + 3 + 8 = 18
4	Hai chữ số tận cùng tạo số chia hết cho 4	1.316 ⋮ 4 vì 16 ⋮ 4
25	Hai chữ số tận cùng là 00; 25; 50; 75	1.075 ⋮ 25

Cách trình bày bài cho gọn

1. Xét từng số hạng xem có chia hết cho m không, ghi rõ lý do dạng a = m · k.
2. Đối chiếu với tính chất 1 hoặc tính chất 2 rồi kết luận.
3. Nếu bài yêu cầu tìm x, tách phần đã chia hết ra rồi đặt điều kiện cho phần còn lại.

Kỹ năng phân tích một số ra thừa số giúp bạn làm nhanh hơn rất nhiều, có thể ôn thêm ở bài cách tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bài bội chung nhỏ nhất (BCNN) là gì.

Lỗi thường gặp

• Kết luận vội khi cả hai số hạng đều không chia hết: trường hợp này không có tính chất nào áp dụng được.
• Nhầm chiều của quan hệ chia hết: viết 8 ⋮ 80 là sai, phải là 80 ⋮ 8.
• Quên điều kiện a ≥ b khi xét hiệu trong phạm vi số tự nhiên của lớp 6.
• Dấu ngoặc đặt sai khi biến đổi tổng: hãy ôn lại quy tắc dấu ngoặc lớp 6 để không sai dấu khi nhóm các số hạng.

Câu hỏi thường gặp

Tính chất chia hết của một tổng phát biểu thế nào?

Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho m thì tổng chia hết cho m. Nếu chỉ một số hạng không chia hết cho m, các số hạng còn lại đều chia hết cho m, thì tổng không chia hết cho m.

Hai số đều không chia hết cho m thì tổng có chia hết không?

Không kết luận được. Ví dụ 5 + 7 = 12 chia hết cho 3, nhưng 5 + 8 = 13 lại không chia hết cho 3.

Tính chất này có áp dụng cho hiệu không?

Có. Với số tự nhiên a ≥ b, nếu a ⋮ m và b ⋮ m thì (a − b) ⋮ m. Tính chất 2 cũng dùng được cho hiệu.

Làm sao xét tổng chia hết mà không cần cộng ra?

Bạn chỉ cần xét từng số hạng có chia hết cho m hay không, rồi áp dụng một trong hai tính chất để kết luận.