Bội chung nhỏ nhất (BCNN) là gì? Cách tìm BCNN của 2, 3 số

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó. Ví dụ BCNN(4, 6) = 12 vì 12 là số khác 0 nhỏ nhất vừa chia hết cho 4, vừa chia hết cho 6.

Bội chung nhỏ nhất là gì? Hiểu từ khái niệm bội

Để trả lời câu hỏi bội chung nhỏ nhất là gì, ta đi từ ba khái niệm nhỏ trong chương trình Toán 6:

• Bội của một số: a là bội của b nếu a chia hết cho b. Ví dụ các bội của 4 là 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24…
• Bội chung: là số vừa là bội của số này, vừa là bội của số kia. Kí hiệu tập bội chung của a và b là BC(a, b).
• Bội chung nhỏ nhất: số nhỏ nhất khác 0 trong BC(a, b), kí hiệu BCNN(a, b).

Bảng dưới đây minh họa với hai số 4 và 6:

Tập hợp	Các phần tử (liệt kê đến 36)
B(4)	0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36
B(6)	0, 6, 12, 18, 24, 30, 36
BC(4, 6)	0, 12, 24, 36…
BCNN(4, 6)	12

Như vậy, bội chung nhỏ nhất là gì có thể hiểu gọn: số dương nhỏ nhất chia hết cho tất cả các số đã cho. Nhận xét quan trọng: mọi bội chung đều là bội của BCNN. Vì vậy, muốn tìm BC(4, 6) chỉ cần lấy các bội của 12.

Cách tìm BCNN bằng phân tích ra thừa số nguyên tố

Đây là cách chuẩn trong sách giáo khoa, dùng được cho cả số lớn và nhiều số. Gồm 3 bước:

1. Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố (viết dưới dạng lũy thừa).
2. Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
3. Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. Tích đó là BCNN.

Ví dụ 1: Tìm BCNN(12, 18)

• 12 = 2²·3; 18 = 2·3².
• Thừa số chung và riêng: 2 và 3.
• Số mũ lớn nhất của 2 là 2, của 3 là 2.
• BCNN(12, 18) = 2²·3² = 4·9 = 36.

Ví dụ 2: Tìm BCNN của 3 số 8, 12, 30

• 8 = 2³; 12 = 2²·3; 30 = 2·3·5.
• Thừa số chung và riêng: 2, 3, 5.
• Số mũ lớn nhất: 2³, 3¹, 5¹.
• BCNN(8, 12, 30) = 2³·3·5 = 120.

Cách tìm BCNN bằng liệt kê bội

Với số nhỏ, bạn có thể liệt kê bội của số lớn nhất rồi kiểm tra xem bội nào chia hết cho các số còn lại. Ví dụ tìm BCNN(6, 8): các bội khác 0 của 8 là 8, 16, 24… Số 8 và 16 không chia hết cho 6; số 24 chia hết cho 6. Vậy BCNN(6, 8) = 24.

Cách này nhanh khi tính nhẩm nhưng dễ sót với số lớn, nên chỉ dùng để kiểm tra.

Công thức liên hệ giữa BCNN và ƯCLN

Với hai số tự nhiên a, b khác 0, ta luôn có:

BCNN(a, b) = a·b / ƯCLN(a, b)

Ví dụ: ƯCLN(12, 18) = 6, nên BCNN(12, 18) = 12·18 / 6 = 216 / 6 = 36, khớp với kết quả ở trên. Nếu bạn chưa quen tìm ƯCLN, xem thêm cách tìm ước chung lớn nhất. Lưu ý công thức này chỉ áp dụng cho hai số, không áp dụng trực tiếp cho ba số trở lên.

Các trường hợp đặc biệt cần nhớ

• Nếu a chia hết cho b thì BCNN(a, b) = a. Ví dụ BCNN(24, 8) = 24.
• Nếu a và b nguyên tố cùng nhau (ƯCLN = 1) thì BCNN(a, b) = a·b. Ví dụ BCNN(5, 7) = 35; BCNN(8, 9) = 72.
• BCNN(a, 1) = a với mọi số tự nhiên a khác 0.

Ứng dụng của BCNN trong bài toán thực tế

Quy đồng mẫu số

Khi cộng, trừ phân số, mẫu số chung nhỏ nhất chính là BCNN của các mẫu. Ví dụ 5/12 + 7/18: BCNN(12, 18) = 36, nên 5/12 = 15/36 và 7/18 = 14/36, tổng bằng 29/36. Phần này được trình bày kỹ ở bài mẫu số chung của hai phân số.

Bài toán lịch trình lặp lại

Xe buýt tuyến A cứ 10 phút xuất bến một chuyến, tuyến B cứ 15 phút một chuyến. Lúc 6 giờ hai xe cùng xuất bến. Hỏi lần tiếp theo hai xe cùng xuất bến lúc mấy giờ?

Giải: Thời gian cần tìm là BCNN(10, 15). Ta có 10 = 2·5, 15 = 3·5, nên BCNN = 2·3·5 = 30. Vậy hai xe lại cùng xuất bến sau 30 phút, tức lúc 6 giờ 30 phút.

Bài toán xếp hàng

Số học sinh của một khối khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều vừa đủ. Biết số học sinh trong khoảng 100 đến 150. Tìm số học sinh.

Giải: Số học sinh là bội chung của 2, 3, 4, 5. BCNN(2, 3, 4, 5) = 2²·3·5 = 60, nên số học sinh thuộc {60; 120; 180…}. Trong khoảng 100 đến 150 chỉ có 120 học sinh.

Sai lầm thường gặp khi tìm BCNN

• Lấy số mũ nhỏ nhất thay vì lớn nhất (đó là cách tìm ƯCLN).
• Chỉ lấy thừa số chung mà quên thừa số riêng.
• Cho rằng BCNN luôn bằng tích hai số. Điều này chỉ đúng khi hai số nguyên tố cùng nhau.
• Chọn 0 là BCNN. Theo định nghĩa, BCNN là số nhỏ nhất khác 0 trong tập bội chung.

Câu hỏi thường gặp

BCNN là viết tắt của gì?

BCNN là viết tắt của bội chung nhỏ nhất, trong tiếng Anh gọi là Least Common Multiple, viết tắt LCM.

BCNN của hai số nguyên tố bằng bao nhiêu?

Nếu hai số nguyên tố khác nhau thì chúng nguyên tố cùng nhau, nên BCNN bằng tích của chúng. Ví dụ BCNN(3, 7) = 21.

BCNN có thể nhỏ hơn một trong các số đã cho không?

Không. BCNN luôn lớn hơn hoặc bằng số lớn nhất trong các số đã cho, vì nó phải là bội của số lớn nhất đó.

Tích của BCNN và ƯCLN của hai số bằng gì?

Với hai số tự nhiên a, b khác 0, ta có BCNN(a, b) · ƯCLN(a, b) = a · b.