Ước chung và bội chung – Toán lớp 6

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó; bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó. Kí hiệu: ƯC(a, b) là tập hợp các ước chung và BC(a, b) là tập hợp các bội chung của a và b.

Ước chung là gì?

Số x gọi là ước chung của a và b nếu a ⋮ x và b ⋮ x. Nói cách khác, x vừa là ước của a, vừa là ước của b. Tập hợp các ước chung ghi là ƯC(a, b). Nhớ rằng số 1 luôn là ước chung của mọi số tự nhiên.

Cách tìm ước chung

1. Liệt kê tập hợp các ước của từng số.
2. Chọn ra các phần tử có mặt trong cả hai (hoặc tất cả) tập hợp.

Ví dụ 1. Tìm ƯC(12, 18).

Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}; Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}. Các số xuất hiện ở cả hai tập là 1; 2; 3; 6. Vậy ƯC(12, 18) = {1; 2; 3; 6}.

Bội chung là gì?

Số x gọi là bội chung của a và b nếu x ⋮ a và x ⋮ b. Tập hợp các bội chung ghi là BC(a, b). Vì mọi số tự nhiên đều có vô số bội, tập BC thường có vô số phần tử; số 0 là bội chung của mọi số.

Cách tìm bội chung

1. Viết tập hợp các bội của từng số (đủ dài).
2. Chọn các phần tử chung.

Ví dụ 2. Tìm các bội chung nhỏ hơn 40 của 4 và 6.

B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; …}; B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; …}. Các số chung nhỏ hơn 40 là 0; 12; 24; 36. Vậy BC(4, 6) gồm các số 0; 12; 24; 36 (trong phạm vi nhỏ hơn 40).

Bảng so sánh ước chung và bội chung

Tiêu chí	Ước chung	Bội chung
Định nghĩa	a ⋮ x và b ⋮ x	x ⋮ a và x ⋮ b
Kí hiệu	ƯC(a, b)	BC(a, b)
Số phần tử	Hữu hạn (nếu a, b không cùng bằng 0)	Vô hạn
Phần tử đặc biệt	Có số 1; số lớn nhất là ƯCLN	Có số 0; số nhỏ nhất khác 0 là BCNN
Ví dụ với 4 và 6	{1; 2}	{0; 12; 24; 36; …}

Bài tập có lời giải

Bài 1. Điền kí hiệu ∈ hoặc ∉ vào chỗ trống: 8 … ƯC(16, 24); 9 … ƯC(18, 30).

Lời giải. 16 ⋮ 8 và 24 ⋮ 8 nên 8 ∈ ƯC(16, 24). 18 ⋮ 9 nhưng 30 không chia hết cho 9 (30 = 9 × 3 + 3) nên 9 ∉ ƯC(18, 30).

Bài 2. Tìm ƯC(30, 45) rồi cho biết số lớn nhất trong tập đó.

Lời giải. Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}; Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}. Vậy ƯC(30, 45) = {1; 3; 5; 15}, số lớn nhất là 15. Số 15 chính là ƯCLN, xem thêm bài ước chung lớn nhất.

Bài 3. Cô giáo muốn chia 24 quyển vở và 36 cây bút thành các phần quà giống nhau, không thừa. Hỏi có thể chia được bao nhiêu phần quà với số phần quà nhiều hơn 1?

Lời giải. Số phần quà là ước chung của 24 và 36. Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}; Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}. ƯC(24, 36) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}. Loại số 1, có thể chia thành 2; 3; 4; 6 hoặc 12 phần quà.

Bài 4. Hai bạn cùng trực nhật: bạn An cứ 4 ngày trực một lần, bạn Bình cứ 6 ngày trực một lần. Cả hai cùng trực hôm nay. Sau ít nhất bao nhiêu ngày thì lại cùng trực?

Lời giải. Số ngày phải là bội chung của 4 và 6, khác 0. BC(4, 6) = {0; 12; 24; …}. Số nhỏ nhất khác 0 là 12 nên sau ít nhất 12 ngày hai bạn lại cùng trực.

Liên hệ với ƯCLN và BCNN

Mọi ước chung của a và b đều là ước của ƯCLN(a, b); mọi bội chung đều là bội của BCNN(a, b). Do đó, thay vì liệt kê dài, bạn có thể tìm ƯCLN rồi liệt kê các ước của nó, xem cách tìm ƯCLN đơn giản nhất. Với bội chung, hãy đọc bài bội chung nhỏ nhất (BCNN). Ôn lại khái niệm tập hợp ở bài tập hợp và phần tử của tập hợp.

Lỗi thường gặp

• Nhầm ước với bội: ước thì nhỏ hơn hoặc bằng số đã cho, bội thì lớn hơn hoặc bằng.
• Liệt kê thiếu ước nên bỏ sót ước chung. Hãy ghép cặp (1 × 12, 2 × 6, 3 × 4) để không sót.
• Quên số 0 khi viết tập hợp bội; trong nhiều bài, đề yêu cầu bội khác 0 nên cần đọc kĩ.

Câu hỏi thường gặp

Ước chung và ước chung lớn nhất khác nhau thế nào?

Ước chung là mọi số mà cả hai số đều chia hết cho nó; ước chung lớn nhất (ƯCLN) là số lớn nhất trong các ước chung đó.

Hai số bất kỳ luôn có ước chung không?

Có. Số 1 là ước chung của mọi cặp số tự nhiên. Nếu ƯCLN bằng 1 thì hai số nguyên tố cùng nhau.

Tập hợp bội chung có bao nhiêu phần tử?

Có vô số phần tử, vì nếu x là bội chung thì mọi bội của x cũng là bội chung.

Số 0 có phải là bội chung của hai số không?

Có, 0 chia hết cho mọi số tự nhiên khác 0 nên 0 là bội chung. Khi tìm BCNN ta chỉ xét số khác 0.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán 6 – Bộ Giáo dục và Đào tạo