Ước chung lớn nhất (ƯCLN) – Toán lớp 6

Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. Ví dụ ƯCLN(12, 18) = 6. Muốn tìm ƯCLN, ta phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố rồi nhân các thừa số chung, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất.

Ước chung lớn nhất là gì?

Trong tập ƯC(a, b), phần tử lớn nhất gọi là ƯCLN của a và b, kí hiệu ƯCLN(a, b). Ví dụ: ƯC(12, 18) = {1; 2; 3; 6} nên ƯCLN(12, 18) = 6. Ngoài ra, mọi ước chung của a và b đều là ước của ƯCLN(a, b), nên ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN(a, b)). Khái niệm ước chung được nhắc ở bài ước chung và bội chung.

Ba bước tìm ƯCLN bằng phân tích ra thừa số nguyên tố

1. Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
2. Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
3. Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN.

Ví dụ 1. Tìm ƯCLN(36, 84).

Lời giải. 36 = 2² · 3²; 84 = 2² · 3 · 7. Thừa số chung: 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, của 3 là 1. Vậy ƯCLN(36, 84) = 2² · 3 = 12.

Ví dụ 2. Tìm ƯCLN(24, 36, 60).

Lời giải. 24 = 2³ · 3; 36 = 2² · 3²; 60 = 2² · 3 · 5. Thừa số chung của cả ba số: 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất: 2² và 3¹. Vậy ƯCLN(24, 36, 60) = 2² · 3 = 12. Thừa số 5 chỉ có ở 60 nên không chọn.

Các trường hợp đặc biệt

Trường hợp	Kết luận	Ví dụ
Hai số nguyên tố cùng nhau	ƯCLN = 1	ƯCLN(8, 9) = 1
Số nhỏ là ước của số lớn	ƯCLN = số nhỏ	ƯCLN(5, 20) = 5
Có một số bằng 1	ƯCLN = 1	ƯCLN(1, 7) = 1
Hai số bằng nhau	ƯCLN = chính số đó	ƯCLN(9, 9) = 9

Hai số có ƯCLN bằng 1 gọi là hai số nguyên tố cùng nhau; chúng không nhất thiết là số nguyên tố. Chẳng hạn 8 và 9 đều là hợp số nhưng nguyên tố cùng nhau.

Tìm ước chung từ ƯCLN

Ví dụ 3. Tìm ƯC(18, 30).

Lời giải. 18 = 2 · 3²; 30 = 2 · 3 · 5. ƯCLN(18, 30) = 2 · 3 = 6. Các ước của 6 là 1; 2; 3; 6. Vậy ƯC(18, 30) = {1; 2; 3; 6}.

Ứng dụng của ƯCLN

Rút gọn phân số về tối giản. Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN. Ví dụ 18/30: ƯCLN(18, 30) = 6 nên 18/30 = (18 : 6)/(30 : 6) = 3/5. Xem thêm cách rút gọn phân số.

Bài toán chia đều. Một mảnh vườn hình chữ nhật dài 48 m, rộng 36 m. Người ta muốn trồng cây thành hàng với các cột mốc cách đều nhau, khoảng cách lớn nhất giữa hai cột mốc liền nhau trên mỗi cạnh là bao nhiêu mét? Lời giải: khoảng cách phải là ước chung của 48 và 36 và lớn nhất, nên là ƯCLN(48, 36). Ta có 48 = 2⁴ · 3; 36 = 2² · 3² nên ƯCLN = 2² · 3 = 12. Vậy khoảng cách lớn nhất là 12 m.

Muốn có thêm cách làm nhanh, như thuật toán chia liên tiếp, hãy đọc bài cách tìm ước chung lớn nhất đơn giản, nhanh nhất. Bài toán ngược với ƯCLN là bội chung nhỏ nhất (BCNN).

Bài tập tự luyện

• Tìm ƯCLN(40, 60). Đáp án: 40 = 2³ · 5, 60 = 2² · 3 · 5, ƯCLN = 2² · 5 = 20.
• Tìm ƯCLN(14, 15). Đáp án: 14 = 2 · 7, 15 = 3 · 5, không có thừa số chung nên ƯCLN = 1.
• Tìm ƯCLN(16, 48). Đáp án: 48 chia hết cho 16 nên ƯCLN = 16.

Lỗi thường gặp

• Lấy thừa số chung với số mũ lớn nhất (đó là cách tìm BCNN, không phải ƯCLN).
• Lấy cả thừa số không chung.
• Nhầm "nguyên tố cùng nhau" với "số nguyên tố".

Câu hỏi thường gặp

ƯCLN của hai số nguyên tố cùng nhau bằng bao nhiêu?

Bằng 1. Ví dụ ƯCLN(8, 9) = 1.

ƯCLN và BCNN khác nhau ở chỗ nào?

ƯCLN lấy thừa số chung với số mũ nhỏ nhất; BCNN lấy cả thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất.

Có tìm được ƯCLN của ba số không?

Có. Phân tích cả ba số ra thừa số nguyên tố, chọn các thừa số chung của cả ba số với số mũ nhỏ nhất rồi nhân lại.

ƯCLN dùng để làm gì?

Dùng để rút gọn phân số và giải các bài toán chia đều, chia nhóm mà số phần tử mỗi nhóm lớn nhất.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán 6 – Bộ Giáo dục và Đào tạo