Bội chung nhỏ nhất (BCNN) – Toán lớp 6

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập các bội chung của các số đó. Ví dụ: BCNN(4, 6) = 12. Ký hiệu: BCNN(a, b).

Bội chung và bội chung nhỏ nhất

Bội chung của hai hay nhiều số là số vừa là bội của tất cả các số đó. Kí hiệu tập bội chung của a và b là BC(a, b).

Ví dụ 1. Tìm BC(4, 6).

• B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; …}
• B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; …}
• BC(4, 6) = {0; 12; 24; 36; …}

Số nhỏ nhất khác 0 trong tập này là 12, nên BCNN(4, 6) = 12. Mọi bội chung của 4 và 6 đều là bội của BCNN(4, 6) = 12.

Các bước tìm BCNN bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố

1. Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
2. Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
3. Bước 3: Với mỗi thừa số, lấy số mũ lớn nhất.
4. Bước 4: Lấy tích các thừa số đó, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN.

Hãy chú ý khác với ƯCLN: ƯCLN chỉ lấy thừa số chung với số mũ nhỏ nhất, còn BCNN lấy cả thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 2. Tìm BCNN(12, 18).

Ta có 12 = 2² · 3 và 18 = 2 · 3². Thừa số 2 có số mũ lớn nhất là 2, thừa số 3 có số mũ lớn nhất là 2. Do đó BCNN(12, 18) = 2² · 3² = 4 · 9 = 36.

Ví dụ 3. Tìm BCNN(4, 6, 10).

4 = 2²; 6 = 2 · 3; 10 = 2 · 5. Lấy 2 với số mũ lớn nhất là 2, 3 và 5 với số mũ 1. BCNN = 2² · 3 · 5 = 60.

Ví dụ 4. Tìm BCNN(24, 36).

24 = 2³ · 3 và 36 = 2² · 3². BCNN = 2³ · 3² = 8 · 9 = 72.

Các trường hợp đặc biệt

Trường hợp	Cách tính BCNN	Ví dụ
Các số nguyên tố cùng nhau (ƯCLN = 1)	BCNN bằng tích các số	BCNN(5, 7) = 35
Số lớn nhất là bội của các số còn lại	BCNN bằng số lớn nhất	BCNN(3, 6, 12) = 12
Hai số bằng nhau	BCNN bằng chính số đó	BCNN(9, 9) = 9
Có số 1	BCNN bằng số kia	BCNN(1, 8) = 8

Nhắc lại: với hai số tự nhiên a, b khác 0 có hệ thức a · b = ƯCLN(a, b) · BCNN(a, b). Kiểm tra với 12 và 18: 12 · 18 = 216 và ƯCLN(12, 18) · BCNN(12, 18) = 6 · 36 = 216. Hệ thức đúng.

Ứng dụng: quy đồng mẫu số và bài toán thực tế

Quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số chính là BCNN của các mẫu. Ví dụ, để cộng 5/12 + 7/18, ta lấy mẫu chung BCNN(12, 18) = 36: 5/12 = 15/36 và 7/18 = 14/36, nên tổng là 29/36.

Bài toán đèn nhấp nháy. Hai đèn cùng sáng lúc đầu; đèn thứ nhất sáng sau mỗi 6 giây, đèn thứ hai sau mỗi 8 giây. Sau ít nhất bao lâu hai đèn cùng sáng lại? Thời gian đó là BCNN(6, 8) = 24 giây.

Bài toán xếp hàng. Một số học sinh khi xếp hàng 8, hàng 10 hoặc hàng 12 đều vừa đủ, và số học sinh nhỏ nhất khác 0 là BCNN(8, 10, 12) = 120 (8 = 2³; 10 = 2 · 5; 12 = 2² · 3; BCNN = 2³ · 3 · 5 = 120).

Sai lầm thường gặp

• Nhầm BCNN với ƯCLN: BCNN luôn lớn hơn hoặc bằng số lớn nhất, còn ƯCLN nhỏ hơn hoặc bằng số nhỏ nhất.
• Chỉ lấy thừa số chung mà quên thừa số riêng.
• Lấy số mũ nhỏ nhất thay vì số mũ lớn nhất.
• Quên rằng 0 là bội của mọi số nhưng không tính vào BCNN vì BCNN phải khác 0.

Để học sâu hơn, bạn có thể đọc BCNN là gì và cách tìm BCNN của 2, 3 số, bài cách tìm ước chung lớn nhất, và quy đồng mẫu nhiều phân số, cũng như mẫu số chung của hai phân số.

Câu hỏi thường gặp

BCNN của hai số nguyên tố cùng nhau là gì?

Là tích của hai số đó. Ví dụ BCNN(5, 7) = 35.

BCNN có thể nhỏ hơn số lớn nhất không?

Không. BCNN là bội của mọi số đã cho nên luôn lớn hơn hoặc bằng số lớn nhất.

Làm sao tìm BCNN của 3 số?

Phân tích từng số ra thừa số nguyên tố, rồi lấy tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất. Ví dụ BCNN(9, 12, 18) = 2² · 3² = 36.

Ký hiệu BCNN viết thế nào?

Viết BCNN(a, b), ví dụ BCNN(4, 6) = 12. Trong một số tài liệu quốc tế dùng ký hiệu lcm(a, b) hoặc [a, b].

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán 6 – chương trình giáo dục phổ thông 2018, Bộ Giáo dục và Đào tạo