Đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác là gì? Cách xác định tâm

Tam giác nội tiếp đường tròn khi cả ba đỉnh của nó nằm trên đường tròn; khi đó đường tròn được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm là giao điểm ba đường trung trực. Ngược lại, đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh, tâm là giao điểm ba đường phân giác trong.

Đường tròn ngoại tiếp và tam giác nội tiếp đường tròn

Cách nói “tam giác nội tiếp đường tròn” và “đường tròn ngoại tiếp tam giác” là hai cách diễn đạt cho cùng một hình: đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C. Tam giác nằm “bên trong” đường tròn, nên tam giác là hình nội tiếp, còn đường tròn là hình ngoại tiếp.

Mọi tam giác đều có đúng một đường tròn ngoại tiếp, vì qua ba điểm không thẳng hàng luôn xác định được duy nhất một đường tròn.

Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp

Tâm O phải cách đều ba đỉnh: OA = OB = OC. Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn đó. Vì vậy:

1. Vẽ đường trung trực của cạnh AB.
2. Vẽ đường trung trực của cạnh AC (hoặc BC).
3. Giao điểm O của hai đường này là tâm đường tròn ngoại tiếp; bán kính R = OA.

Chỉ cần vẽ hai đường trung trực, vì đường thứ ba chắc chắn đi qua giao điểm đó.

Vị trí của tâm theo loại tam giác

• Tam giác nhọn: tâm O nằm bên trong tam giác.
• Tam giác vuông: tâm O là trung điểm cạnh huyền, R bằng nửa cạnh huyền.
• Tam giác tù: tâm O nằm bên ngoài tam giác.
• Tam giác đều: tâm O trùng với trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp.

Đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn nội tiếp nằm bên trong tam giác và tiếp xúc với cả ba cạnh. Lúc này ta nói tam giác ngoại tiếp đường tròn. Mỗi tam giác cũng có đúng một đường tròn nội tiếp.

Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp

Tâm I phải cách đều ba cạnh. Điểm cách đều hai cạnh của một góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó. Do đó:

1. Vẽ tia phân giác của góc A.
2. Vẽ tia phân giác của góc B.
3. Giao điểm I là tâm đường tròn nội tiếp. Hạ IH vuông góc với BC, bán kính r = IH.

Tâm đường tròn nội tiếp luôn nằm bên trong tam giác, với mọi loại tam giác.

Bảng so sánh đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp

Tiêu chí	Đường tròn ngoại tiếp	Đường tròn nội tiếp
Quan hệ với tam giác	Đi qua 3 đỉnh	Tiếp xúc 3 cạnh
Tâm là giao điểm của	3 đường trung trực	3 đường phân giác trong
Tính chất của tâm	Cách đều 3 đỉnh	Cách đều 3 cạnh
Vị trí tâm	Trong, trên cạnh hoặc ngoài tam giác	Luôn ở trong tam giác
Công thức bán kính	R = abc / (4S)	r = S / p
Tam giác đều cạnh a	R = a√3/3	r = a√3/6

Trong bảng, a, b, c là độ dài ba cạnh, S là diện tích, p = (a + b + c)/2 là nửa chu vi.

Công thức tính bán kính R và r

• R = abc / (4S); hoặc theo định lý sin: a / sin A = 2R. Xem thêm định lý sin trong bài công thức lượng giác đầy đủ.
• r = S / p.
• Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a, b và cạnh huyền c: R = c/2 và r = (a + b − c)/2.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Tam giác vuông 3, 4, 5

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Tính R và r.

1. Tam giác vuông nên R = BC/2 = 5/2 = 2,5 cm.
2. Diện tích S = 3·4/2 = 6 cm²; nửa chu vi p = (3 + 4 + 5)/2 = 6 cm.
3. r = S/p = 6/6 = 1 cm. Kiểm tra bằng công thức r = (3 + 4 − 5)/2 = 1, khớp.

Ví dụ 2: Tam giác có ba cạnh 13, 14, 15

1. Nửa chu vi p = (13 + 14 + 15)/2 = 21.
2. Theo công thức Hê-rông: S = √(21·8·7·6) = √7.056 = 84.
3. R = 13·14·15 / (4·84) = 2.730 / 336 = 8,125.
4. r = 84 / 21 = 4.

Ví dụ 3: Tam giác đều cạnh 6 cm

R = 6√3/3 = 2√3 ≈ 3,46 cm; r = 6√3/6 = √3 ≈ 1,73 cm. Nhận thấy R = 2r, đúng với mọi tam giác đều vì tâm trùng trọng tâm, chia đường trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1.

Sai lầm thường gặp

• Lấy giao điểm các đường phân giác làm tâm ngoại tiếp, hoặc ngược lại. Hãy nhớ: ngoại – trung trực, nội – phân giác.
• Lấy giao các đường trung tuyến (trọng tâm) làm tâm đường tròn. Điều này chỉ đúng với tam giác đều.
• Nghĩ rằng tâm ngoại tiếp luôn ở trong tam giác. Với tam giác tù, tâm nằm ngoài.

Câu hỏi thường gặp

Tam giác nội tiếp đường tròn nghĩa là gì?

Là tam giác có ba đỉnh cùng nằm trên một đường tròn. Đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông nằm ở đâu?

Nằm tại trung điểm cạnh huyền, bán kính bằng một nửa cạnh huyền.

Tứ giác nội tiếp đường tròn khi nào?

Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi tổng hai góc đối diện bằng 180°. Không phải tứ giác nào cũng nội tiếp được, khác với tam giác.

Đường tròn bàng tiếp khác đường tròn nội tiếp thế nào?

Đường tròn bàng tiếp nằm ngoài tam giác, tiếp xúc với một cạnh và phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Mỗi tam giác có ba đường tròn bàng tiếp và một đường tròn nội tiếp.