Thế nào là hai đường thẳng vuông góc?

Hai đường thẳng vuông góc là hai đường thẳng cắt nhau và tạo thành một góc vuông (90°). Kí hiệu: a ⊥ b (đọc là a vuông góc với b). Khi hai đường thẳng cắt nhau tạo ra một góc vuông thì ba góc còn lại cũng đều là góc vuông.

Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc

Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại O. Nếu góc xOy = 90° thì xx’ ⊥ yy’. Vì các góc xOy, yOx’, x’Oy’, y’Ox là các cặp góc kề bù hoặc đối đỉnh nên cả bốn góc đều bằng 90°. Đường thẳng này gọi là đường vuông góc với đường thẳng kia, giao điểm O là chân đường vuông góc.

Tính chất cơ bản

1. Tính chất duy nhất: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
2. Quan hệ với song song: Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau (a ⊥ c, b ⊥ c ⇒ a // b).
3. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại (a // b, c ⊥ a ⇒ c ⊥ b).
4. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau, xem thêm điều kiện để hai đường thẳng song song.

Đường trung trực của đoạn thẳng

Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó. Mỗi điểm nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút. Bạn có thể xem thêm đường trung trực và cách vẽ.

Cách vẽ hai đường thẳng vuông góc

1. Vẽ đường thẳng a bằng thước.
2. Đặt một cạnh góc vuông của ê ke trùng với đường thẳng a, đánh dấu điểm O cần vẽ (hoặc điểm A nằm ngoài a).
3. Trượt ê ke sao cho cạnh góc vuông còn lại đi qua điểm cần vẽ.
4. Kẻ đường thẳng dọc theo cạnh góc vuông thứ hai. Đường thẳng vừa kẻ là đường vuông góc với a.

Điều kiện vuông góc trong hệ tọa độ

Dạng phương trình	Điều kiện vuông góc	Ví dụ
y = k1x + m1 và y = k2x + m2	k1 · k2 = −1	y = 2x + 1 và y = −x/2 + 3 (2 · (−1/2) = −1)
a1x + b1y + c1 = 0 và a2x + b2y + c2 = 0	a1a2 + b1b2 = 0	3x − 4y + 5 = 0 và 4x + 3y − 2 = 0 (3 · 4 + (−4) · 3 = 0)

Điều kiện k₁ · k₂ = −1 chỉ dùng cho hai đường thẳng đều có hệ số góc. Nếu một đường là đường thẳng đứng x = c thì đường vuông góc với nó là đường nằm ngang y = d.

Ví dụ. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 2) và vuông góc với đường thẳng Δ: y = 3x − 1.

Lời giải. Hệ số góc của Δ là 3. Vì d ⊥ Δ nên hệ số góc của d là k = −1/3. Phương trình d: y − 2 = −(1/3)(x − 1), suy ra y = −x/3 + 7/3. Kiểm tra: thay x = 1 được y = −1/3 + 7/3 = 2 (đúng).

Bài tập có lời giải

Bài 1. Cho a ⊥ c, b ⊥ c. Chứng minh a // b.

Lời giải. Hai đường thẳng a và b cùng tạo với c một cặp góc đồng vị bằng nhau (cùng bằng 90°), nên theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, a // b.

Bài 2. Hai đường thẳng cắt nhau tạo góc 90° tại O. Biết góc xOy = 90°, tính góc x’Oy.

Lời giải. Hai góc xOy và x’Oy kề bù nên xOy + x’Oy = 180°, suy ra x’Oy = 180° − 90° = 90°.

Bài 3. Hai đường thẳng y = (m − 1)x + 2 và y = 3x − 5 vuông góc. Tìm m.

Lời giải. Điều kiện (m − 1) · 3 = −1 nên m − 1 = −1/3 và m = 2/3.

Ứng dụng và liên hệ

Quan hệ vuông góc có mặt trong tam giác vuông, đường cao, tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính ở tiếp điểm, xem dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn. Trong xây dựng, thợ dùng ê ke hoặc quy tắc tam giác 3-4-5 để tạo góc vuông.

Lỗi thường gặp

• Nhầm "vuông góc" với "song song".
• Quên đổi phương trình về dạng y = kx + m trước khi so sánh hệ số góc.
• Áp dụng k₁k₂ = −1 cho đường thẳng đứng, vốn không có hệ số góc.

Câu hỏi thường gặp

Hai đường thẳng vuông góc tạo ra mấy góc vuông?

Bốn góc vuông, vì khi một góc bằng 90° thì ba góc còn lại cũng bằng 90°.

Qua một điểm có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước?

Có một và chỉ một đường thẳng.

Điều kiện để hai đường thẳng y = k₁x + m₁ và y = k₂x + m₂ vuông góc là gì?

Tích hai hệ số góc bằng −1, tức là k₁ · k₂ = −1.

Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì sao?

Chúng song song với nhau (trong cùng một mặt phẳng).

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán 7 và Toán 9 – Bộ Giáo dục và Đào tạo