Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Trả lời nhanh: có 3 dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn – đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn; khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính (d = R); đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó. Dấu hiệu thứ ba là dấu hiệu hay dùng nhất khi chứng minh.

Tiếp tuyến của đường tròn là gì?

Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) là đường thẳng chỉ có một điểm chung duy nhất với đường tròn. Điểm chung đó gọi là tiếp điểm. Nếu gọi d là khoảng cách từ tâm O tới đường thẳng a, ta có ba trường hợp:

Quan hệ	Vị trí của đường thẳng và đường tròn	Số điểm chung
d < R	Đường thẳng cắt đường tròn (cát tuyến)	2
d = R	Đường thẳng tiếp xúc đường tròn (tiếp tuyến)	1
d > R	Đường thẳng và đường tròn không giao nhau	0

Ba dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

1. Theo định nghĩa: nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến.
2. Theo khoảng cách: nếu khoảng cách từ tâm O tới đường thẳng a bằng bán kính R thì a là tiếp tuyến của (O; R).
3. Theo quan hệ vuông góc: nếu một đường thẳng đi qua một điểm thuộc đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến.

Ngược lại, tiếp tuyến thì vuông góc với bán kính tại tiếp điểm, nên bài toán tiếp tuyến thường đưa về tam giác vuông và dùng định lý Pitago.

Hai tiếp tuyến cắt nhau

Cho điểm M nằm ngoài (O; R), từ M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB với A, B là hai tiếp điểm. Khi đó:

• MA = MB.
• MO là tia phân giác của góc AMB, còn OM là tia phân giác của góc AOB.
• OM là đường trung trực của đoạn AB, nên OM ⊥ AB.

Xem thêm bài đường trung trực.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; 3 cm).

1. Xét BC² = 5² = 25 và AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Vậy BC² = AB² + AC².
2. Theo định lý Pytago đảo, tam giác ABC vuông tại A, suy ra AC ⊥ AB tại A.
3. Vì BA = 3 cm bằng bán kính nên A thuộc đường tròn (B; 3 cm).
4. Đường thẳng AC đi qua điểm A của đường tròn và vuông góc với bán kính BA tại A, nên AC là tiếp tuyến của (B; 3 cm) theo dấu hiệu thứ ba.

Ví dụ 2. Cho (O; 6 cm) và điểm M với OM = 10 cm. Vẽ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm). Tính MA.

1. Vì MA là tiếp tuyến nên OA ⊥ MA, tam giác OAM vuông tại A.
2. MA = √(OM² − OA²) = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8 cm.

Ví dụ 3. Cho (O; 5 cm) và đường thẳng a cách O đúng 5 cm: vì d = R nên a là tiếp tuyến; nếu cách 4 cm thì a cắt đường tròn tại hai điểm.

Lưu ý khi làm bài

• Phải chứng minh tiếp điểm thuộc đường tròn trước khi dùng dấu hiệu vuông góc. Thiếu bước này là lỗi trừ điểm phổ biến.
• Vuông góc với bán kính nhưng tại điểm không thuộc đường tròn thì không kết luận được gì.
• Khi chưa biết tiếp điểm, hãy kẻ OH vuông góc với đường thẳng rồi chứng minh OH = R.
• Đừng nhầm tiếp tuyến với dây cung hay cát tuyến vì số điểm chung khác nhau.

Xem thêm: đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác, tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính góc trong các bài tiếp tuyến.

Câu hỏi thường gặp

Có mấy dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn?

Có 3 dấu hiệu: chỉ có một điểm chung với đường tròn; khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính; đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó.

Tiếp tuyến và dây cung khác nhau thế nào?

Dây cung nối hai điểm trên đường tròn nên có hai điểm chung. Tiếp tuyến chỉ có một điểm chung, gọi là tiếp điểm.

Từ một điểm ngoài đường tròn vẽ được mấy tiếp tuyến?

Vẽ được đúng hai tiếp tuyến. Hai tiếp tuyến đó có độ dài bằng nhau tính từ điểm đã cho tới hai tiếp điểm, và đường thẳng nối điểm đó với tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Khi nào đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm?

Khi khoảng cách d từ tâm tới đường thẳng nhỏ hơn bán kính R. Nếu d = R thì đường thẳng là tiếp tuyến, còn nếu d > R thì đường thẳng và đường tròn không có điểm chung.

Cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến nhanh nhất?

Chứng minh điểm chung thuộc đường tròn, rồi chứng minh đường thẳng vuông góc với bán kính tại điểm đó. Nếu chưa có điểm chung, kẻ đường vuông góc từ tâm và chứng minh khoảng cách bằng bán kính.