Số vô tỉ là gì? Cách nhận biết và ví dụ

Số vô tỉ là số thực không viết được dưới dạng phân số a/b với a, b là số nguyên và b ≠ 0. Dạng thập phân của số vô tỉ luôn vô hạn và không tuần hoàn, ví dụ √2 ≈ 1,41421356… hay π ≈ 3,14159265…

Số vô tỉ là gì?

Tập hợp số thực R được chia thành hai phần không chồng nhau: các số hữu tỉ (ký hiệu Q) và các số vô tỉ (thường ký hiệu I hoặc R \ Q). Một số thực đã là số hữu tỉ thì không thể là số vô tỉ, và ngược lại.

Chữ “vô tỉ” nghĩa là “không có tỉ số”: không tồn tại cặp số nguyên nào cho tỉ số bằng đúng số đó. Đây là điểm khác biệt duy nhất, nhưng cũng là điểm quan trọng nhất, giữa hai loại số.

Dấu hiệu nhận biết số vô tỉ

1. Xét phần thập phân. Nếu phần thập phân vô hạn và không lặp lại theo chu kỳ thì đó là số vô tỉ. Thập phân hữu hạn (0,25) hay vô hạn tuần hoàn (0,333…) đều là số hữu tỉ.
2. Căn bậc hai của số không chính phương. √2, √3, √5, √7, √10 đều vô tỉ. Còn √16 = 4 là số hữu tỉ.
3. Căn bậc ba của số không lập phương đúng. ∛2, ∛5 là số vô tỉ; ∛27 = 3 thì không.
4. Các hằng số đặc biệt. π, số e ≈ 2,71828 và tỉ lệ vàng φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,61803 đều là số vô tỉ.

Số	Giá trị thập phân	Loại số
√2	1,41421356…	Vô tỉ
√3	1,73205081…	Vô tỉ
π	3,14159265…	Vô tỉ
e	2,71828183…	Vô tỉ
√25	5	Hữu tỉ
0,(6) tức 0,666…	2/3	Hữu tỉ
3,25	13/4	Hữu tỉ

Vì sao √2 là số vô tỉ? (chứng minh ngắn)

Giả sử √2 là số hữu tỉ, tức √2 = m/n với m, n nguyên dương và phân số đã tối giản. Bình phương hai vế: 2 = m²/n², suy ra m² = 2n².

Vậy m² chẵn, nên m chẵn. Đặt m = 2k. Thay vào: (2k)² = 2n² ⟹ 4k² = 2n² ⟹ n² = 2k². Vậy n² chẵn, nên n cũng chẵn.

Nhưng m và n cùng chẵn thì phân số m/n chưa tối giản — trái điều đã giả sử. Điều vô lý này cho thấy √2 không thể viết thành m/n, tức √2 là số vô tỉ.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Trong các số 0,75; √8; 7/9; ∛64, số nào vô tỉ?

Lời giải: 0,75 = 3/4 (hữu tỉ). √8 = 2√2, vì √2 vô tỉ nên 2√2 vô tỉ. 7/9 là phân số (hữu tỉ). ∛64 = 4 (hữu tỉ). Vậy chỉ có √8 là số vô tỉ.

Ví dụ 2. Đường chéo hình vuông cạnh 1 cm dài bao nhiêu?

Lời giải: theo định lý Pitago, đường chéo d thỏa d² = 1² + 1² = 2, nên d = √2 ≈ 1,41 cm. Đây là một độ dài có thật nhưng lại là số vô tỉ.

Ví dụ 3. Tổng của hai số vô tỉ có luôn là số vô tỉ không?

Lời giải: không. Ví dụ (2 + √3) và (2 − √3) đều vô tỉ, nhưng tổng của chúng bằng 4 — một số nguyên. Vậy tập số vô tỉ không kín với phép cộng.

Lưu ý và sai lầm thường gặp

• Nhầm “vô hạn” với “vô tỉ”. 0,363636… vô hạn nhưng tuần hoàn nên vẫn hữu tỉ.
• Tưởng máy tính cho giá trị chính xác. Máy chỉ hiển thị khoảng 10 chữ số; khi tính diện tích hình vuông hay chu vi hình tròn, nên giữ dạng √2, π đến bước cuối rồi mới làm tròn.
• Nghĩ số vô tỉ không so sánh được. Vẫn so sánh bình thường: vì 2 < 3 nên √2 < √3.
• Dùng dấu “=” với giá trị gần đúng. Phải viết π ≈ 3,14 chứ không viết π = 3,14.
• Lẫn lộn với phép nâng lũy thừa. (√2)² = 2 là số hữu tỉ, dù √2 vô tỉ.

Câu hỏi thường gặp

Số vô tỉ có phải số thực không?

Có. Tập số thực R gồm hai phần không giao nhau: số hữu tỉ Q và số vô tỉ I. Mọi số vô tỉ đều là số thực, nhưng không số vô tỉ nào là số hữu tỉ.

Số 0,1010010001… có phải số vô tỉ không?

Có, nếu quy luật là mỗi lần thêm một chữ số 0 thì phần thập phân vô hạn và không tuần hoàn, nên đó là số vô tỉ dù ta viết được quy luật của nó.

√4 có phải số vô tỉ không?

Không. √4 = 2, mà 2 = 2/1 nên đây là số hữu tỉ. Căn bậc hai của một số chính phương luôn là số nguyên.

Số π bằng 22/7 đúng không?

Không chính xác. 22/7 ≈ 3,142857 chỉ là giá trị gần đúng của π ≈ 3,141593. Vì π là số vô tỉ nên không phân số nào bằng đúng π.

Có bao nhiêu số vô tỉ?

Vô số, và theo lý thuyết tập hợp thì số vô tỉ còn nhiều hơn số hữu tỉ. Trên trục số, giữa hai số hữu tỉ bất kỳ luôn tồn tại ít nhất một số vô tỉ.