Đại lượng tỉ lệ nghịch: lý thuyết và bài tập

Đại lượng tỉ lệ nghịch: nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = a/x (hay x·y = a) với a là hằng số khác 0 thì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a. Khi x tăng bao nhiêu lần thì y giảm đi bấy nhiêu lần, và ngược lại.

Định nghĩa

Hai đại lượng x và y gọi là tỉ lệ nghịch với nhau nếu y = a/x, trong đó a ≠ 0 là hệ số tỉ lệ. Khi đó x cũng tỉ lệ nghịch với y theo cùng hệ số a: x = a/y. Ví dụ: quãng đường 120 km không đổi thì vận tốc v và thời gian t thỏa mãn v · t = 120, nên t = 120/v, tức thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc. So sánh với đại lượng tỉ lệ thuận: ở tỉ lệ thuận y = kx và thương y/x không đổi, còn ở tỉ lệ nghịch tích x·y không đổi.

Tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch

Nếu hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau thì:

1. Tích hai giá trị tương ứng luôn không đổi: x₁y₁ = x₂y₂ = … = a.
2. Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia: x₁/x₂ = y₂/y₁, x₁/x₃ = y₃/y₁…

Tiêu chí	Tỉ lệ thuận	Tỉ lệ nghịch
Công thức	y = kx	y = a/x (xy = a)
Đại lượng không đổi	Thương y/x = k	Tích x·y = a
Khi x tăng 2 lần	y tăng 2 lần	y giảm 2 lần
Tính chất tỉ số	x1/x2 = y1/y2	x1/x2 = y2/y1

Bài tập có lời giải

Bài 1. Cho x và y tỉ lệ nghịch. Khi x = 4 thì y = 6. a) Tìm hệ số tỉ lệ. b) Biểu diễn y theo x. c) Tính y khi x = 8.

Lời giải. a) a = x · y = 4 · 6 = 24. b) y = 24/x. c) Khi x = 8 thì y = 24/8 = 3.

Bài 2. Một đội gồm 6 công nhân làm xong một công việc trong 12 ngày. Nếu có 9 công nhân (năng suất như nhau) thì làm xong trong bao nhiêu ngày?

Lời giải. Số công nhân và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi x là số ngày cần tìm. Ta có 6 · 12 = 9 · x nên x = 72 : 9 = 8. Vậy 9 công nhân làm trong 8 ngày.

Bài 3. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h mất 3 giờ. Nếu đi với vận tốc 60 km/h thì mất bao lâu?

Lời giải. Quãng đường AB = 40 · 3 = 120 km không đổi nên vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch. Thời gian cần tìm t = 120 : 60 = 2 giờ.

Bài 4. Chia số 124 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 2; 3; 5.

Lời giải. Gọi ba phần là x, y, z. Vì tỉ lệ nghịch với 2; 3; 5 nên x, y, z tỉ lệ thuận với 1/2; 1/3; 1/5. Quy đồng (nhân với BCNN(2; 3; 5) = 30): 1/2 : 1/3 : 1/5 = 15 : 10 : 6. Suy ra x/15 = y/10 = z/6 = (x + y + z)/(15 + 10 + 6) = 124/31 = 4. Vậy x = 15 · 4 = 60; y = 10 · 4 = 40; z = 6 · 4 = 24. Kiểm tra: 60 + 40 + 24 = 124, đồng thời 60 · 2 = 40 · 3 = 24 · 5 = 120. Cách làm dùng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (tỉ lệ thức); quy đồng tỉ số dùng được kỹ năng ở mẫu số chung.

Các bước giải bài toán tỉ lệ nghịch

1. Xác định hai đại lượng và chứng minh chúng tỉ lệ nghịch (một đại lượng thứ ba không đổi, như quãng đường, khối lượng công việc).
2. Lập đẳng thức tích: x₁y₁ = x₂y₂.
3. Tính đại lượng cần tìm rồi kiểm tra tính hợp lí của kết quả: đại lượng này tăng thì đại lượng kia phải giảm.

Lỗi thường gặp

• Nhầm tỉ lệ nghịch thành tỉ lệ thuận, dẫn đến lấy tỉ số cùng chiều. Hãy tự hỏi: tăng cái này thì cái kia tăng hay giảm?
• Quên đổi đơn vị cho thống nhất trước khi tính tích (giờ, phút, km, m).
• Ở bài chia phần tỉ lệ nghịch với a, b, c, quên chuyển thành tỉ lệ thuận với 1/a, 1/b, 1/c.

Hàm số y = a/x còn gọi là hàm số tỉ lệ nghịch; đồ thị của nó là đường hypebol. Định nghĩa và các dạng hàm số khác, xem hàm số là gì.

Câu hỏi thường gặp

Hệ số tỉ lệ trong đại lượng tỉ lệ nghịch tính thế nào?

Lấy tích hai giá trị tương ứng: a = x · y.

Làm sao nhận biết hai đại lượng tỉ lệ nghịch?

Nếu đại lượng này tăng lên bao nhiêu lần thì đại lượng kia giảm đi bấy nhiêu lần, và tích hai đại lượng không đổi.

Khác nhau giữa tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch là gì?

Tỉ lệ thuận có thương y/x không đổi, còn tỉ lệ nghịch có tích x·y không đổi.

Chia một số thành phần tỉ lệ nghịch với a, b, c như thế nào?

Chuyển thành chia tỉ lệ thuận với 1/a, 1/b, 1/c rồi dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán 7 – Bộ Giáo dục và Đào tạo