Đại lượng tỉ lệ thuận là gì? Công thức và ví dụ

Hai đại lượng x và y được gọi là tỉ lệ thuận nếu liên hệ với nhau theo công thức y = k · x, trong đó k là hằng số khác 0 (k gọi là hệ số tỉ lệ). Khi đó tỉ số y/x luôn bằng k: x tăng (giảm) bao nhiêu lần thì y cũng tăng (giảm) bấy nhiêu lần.

Đại lượng tỉ lệ thuận là gì?

Theo SGK Toán 7, nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = kx (k là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.

Điểm quan trọng: nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số k thì x cũng tỉ lệ thuận với y, nhưng theo hệ số 1/k. Ví dụ y = 4x thì x = y/4, tức x tỉ lệ thuận với y theo hệ số 1/4.

Hệ số k có thể là số dương hoặc số âm, chỉ cần khác 0. Với k âm, khi x tăng thì y giảm, nhưng tỉ số y/x vẫn không đổi nên vẫn là tỉ lệ thuận.

Tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận

Giả sử y tỉ lệ thuận với x, các cặp giá trị tương ứng là (x₁; y₁), (x₂; y₂), (x₃; y₃)… Khi đó:

• Tính chất 1: Tỉ số hai giá trị tương ứng luôn không đổi và bằng hệ số tỉ lệ: y₁/x₁ = y₂/x₂ = y₃/x₃ = … = k.
• Tính chất 2: Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia: x₁/x₂ = y₁/y₂.

Tính chất 1 thực chất là một dãy tỉ số bằng nhau, vì vậy kiến thức về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau được dùng rất nhiều khi giải toán tỉ lệ thuận.

Cách nhận biết hai đại lượng tỉ lệ thuận

1. Nếu có công thức: kiểm tra xem có viết được dưới dạng y = kx với k là hằng số khác 0 hay không.
2. Nếu có bảng giá trị: tính tỉ số y/x ở từng cột. Mọi tỉ số bằng nhau thì y tỉ lệ thuận với x.

Ví dụ 1: Cho y tỉ lệ thuận với x, khi x = 6 thì y = 4. Tìm hệ số tỉ lệ và điền bảng.

Lời giải: k = y/x = 4/6 = 2/3. Vậy y = (2/3)x.

x	3	6	9	12	15
y = (2/3)x	2	4	6	8	10

Kiểm tra: 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15, đều bằng 2/3.

Các dạng bài tập tỉ lệ thuận có lời giải

Dạng 1: Tìm giá trị chưa biết

Ví dụ 2: 12 m dây thép nặng 300 g. Hỏi 20 m dây thép cùng loại nặng bao nhiêu gam?

1. Khối lượng dây tỉ lệ thuận với chiều dài: m = k · l.
2. k = 300 : 12 = 25 (g/m).
3. Khối lượng 20 m dây: 25 · 20 = 500 (g).

Dạng 2: Biết hiệu hai giá trị

Ví dụ 3: Hai thanh kim loại cùng chất có thể tích 10 cm³ và 15 cm³. Thanh thứ hai nặng hơn thanh thứ nhất 56,5 g. Tính khối lượng mỗi thanh.

1. Gọi khối lượng hai thanh là m₁, m₂. Vì khối lượng tỉ lệ thuận với thể tích: m₁/10 = m₂/15.
2. Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau: m₁/10 = m₂/15 = (m₂ − m₁)/(15 − 10) = 56,5/5 = 11,3.
3. m₁ = 11,3 · 10 = 113 (g); m₂ = 11,3 · 15 = 169,5 (g).

Dạng 3: Chia một số thành các phần tỉ lệ thuận

Ví dụ 4: Ba lớp 7A, 7B, 7C có 32, 28, 36 học sinh, cùng trồng 240 cây. Số cây mỗi lớp tỉ lệ thuận với số học sinh. Tính số cây mỗi lớp.

1. Gọi số cây là a, b, c. Ta có a/32 = b/28 = c/36 và a + b + c = 240.
2. a/32 = b/28 = c/36 = (a + b + c)/(32 + 28 + 36) = 240/96 = 2,5.
3. a = 2,5 · 32 = 80; b = 2,5 · 28 = 70; c = 2,5 · 36 = 90.
4. Kiểm tra: 80 + 70 + 90 = 240 (đúng).

Phân biệt tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch

Tiêu chí	Tỉ lệ thuận	Tỉ lệ nghịch
Công thức	y = kx (k ≠ 0)	y = a/x hay x · y = a (a ≠ 0)
Đại lượng không đổi	Thương y/x = k	Tích x · y = a
Khi x tăng 2 lần (k, a dương)	y tăng 2 lần	y giảm 2 lần
Đồ thị	Đường thẳng đi qua gốc tọa độ	Đường hypebol

Đồ thị của y = kx là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ O; đây là ví dụ đầu tiên về hàm số mà học sinh được học.

Ứng dụng thực tế

• Số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số lượng hàng khi đơn giá không đổi.
• Quãng đường tỉ lệ thuận với thời gian khi vận tốc không đổi: s = v · t. Muốn tính đúng cần thống nhất đơn vị, chẳng hạn đổi km sang m.
• Lượng nguyên liệu trong công thức nấu ăn tỉ lệ thuận với số suất ăn.
• Chu vi hình vuông tỉ lệ thuận với độ dài cạnh: C = 4a.

Lưu ý và sai lầm thường gặp

• Nhầm hệ số: y tỉ lệ thuận với x theo hệ số k thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số 1/k, không phải k.
• Cùng tăng chưa chắc là tỉ lệ thuận: y = x + 3 có y tăng khi x tăng nhưng y/x thay đổi, nên y và x không tỉ lệ thuận với nhau.
• Quên kiểm tra lại: sau khi chia tỉ lệ, cộng các phần để xem có đúng tổng đề bài không.

Câu hỏi thường gặp

Hệ số tỉ lệ có thể là số âm không?

Có. Hệ số tỉ lệ k chỉ cần là hằng số khác 0, có thể dương hoặc âm. Ví dụ y = −3x vẫn cho thấy y tỉ lệ thuận với x.

Đồ thị của hai đại lượng tỉ lệ thuận có dạng gì?

Đồ thị của y = kx là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

Làm sao nhận biết đại lượng tỉ lệ thuận từ bảng giá trị?

Tính tỉ số y/x ở mọi cột. Nếu tất cả tỉ số bằng nhau và khác 0 thì y tỉ lệ thuận với x.

Nếu y tỉ lệ thuận với x, x tỉ lệ thuận với z thì y và z có quan hệ gì?

y tỉ lệ thuận với z. Nếu y = k₁x và x = k₂z thì y = k₁k₂z, hệ số tỉ lệ là k₁k₂.