Hệ thức Vi-ét là gì? Ứng dụng và bài tập

Hệ thức Vi-ét: nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ thì x₁ + x₂ = −b/a và x₁·x₂ = c/a. Hệ thức này giúp nhẩm nghiệm, tìm hai số khi biết tổng và tích, và tính các biểu thức đối xứng của hai nghiệm mà không cần giải phương trình.

Hệ thức Vi-ét là gì?

Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức Δ = b² − 4ac. Nếu Δ ≥ 0, phương trình có hai nghiệm (có thể bằng nhau) x₁ và x₂, khi đó:

• Tổng hai nghiệm: S = x₁ + x₂ = −b/a
• Tích hai nghiệm: P = x₁·x₂ = c/a

Hệ thức mang tên nhà toán học Pháp François Viète. Điều kiện Δ ≥ 0 (hoặc Δ’ ≥ 0) là bắt buộc để hai nghiệm tồn tại; nếu thiếu điều kiện này, kết quả tính theo công thức không có ý nghĩa.

Định lý đảo: nếu hai số u và v có u + v = S và u·v = P thì u, v là hai nghiệm của phương trình X² − SX + P = 0 (điều kiện tồn tại: S² − 4P ≥ 0).

Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm

Điều kiện	Nghiệm	Ví dụ
a + b + c = 0	x₁ = 1; x₂ = c/a	3x² + 5x − 8 = 0 có 3 + 5 − 8 = 0 nên x₁ = 1, x₂ = −8/3
a − b + c = 0	x₁ = −1; x₂ = −c/a	x² − 3x − 4 = 0 có 1 + 3 − 4 = 0 nên x₁ = −1, x₂ = 4

Với phương trình có hệ số nhỏ, bạn có thể nhẩm theo tổng và tích: ví dụ x² − 5x + 6 = 0 có S = 5, P = 6, tìm hai số có tổng 5, tích 6 là 2 và 3. Vậy x₁ = 2, x₂ = 3.

Ứng dụng 2: Tìm hai số biết tổng và tích

Ví dụ: Tìm hai số có tổng bằng 7 và tích bằng 12.

Lời giải: hai số là nghiệm của phương trình X² − 7X + 12 = 0. Có Δ = 49 − 48 = 1 > 0, nên X = (7 ± 1)/2, tức X = 4 hoặc X = 3. Vậy hai số cần tìm là 3 và 4. Thử: 3 + 4 = 7; 3·4 = 12.

Ứng dụng 3: Tính biểu thức đối xứng của hai nghiệm

Các biểu thức đối xứng đều quy được về S và P:

• x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = S² − 2P
• x₁³ + x₂³ = S³ − 3PS
• 1/x₁ + 1/x₂ = S/P (với P ≠ 0)
• (x₁ − x₂)² = S² − 4P

Ví dụ: Cho phương trình 2x² − 7x + 3 = 0. Không giải phương trình, tính x₁² + x₂².

Lời giải: Δ = 49 − 24 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm. S = 7/2, P = 3/2. Khi đó x₁² + x₂² = (7/2)² − 2·(3/2) = 49/4 − 3 = 37/4. Kiểm tra bằng nghiệm thật: x = 3 và x = 1/2 nên 9 + 1/4 = 37/4.

Ứng dụng 4: Bài toán chứa tham số

Ví dụ: Cho phương trình x² − 2(m − 1)x + m² − 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa x₁² + x₂² = 10.

Lời giải:

1. Điều kiện có nghiệm: Δ’ = (m − 1)² − (m² − 3) = −2m + 4 ≥ 0, suy ra m ≤ 2.
2. Theo Vi-ét: S = 2(m − 1), P = m² − 3.
3. x₁² + x₂² = S² − 2P = 4(m − 1)² − 2(m² − 3) = 2m² − 8m + 10.
4. Đặt 2m² − 8m + 10 = 10, suy ra 2m(m − 4) = 0, nên m = 0 hoặc m = 4.
5. Đối chiếu điều kiện m ≤ 2: loại m = 4, nhận m = 0.

Kiểm tra: với m = 0, phương trình x² + 2x − 3 = 0 có nghiệm 1 và −3; 1² + (−3)² = 10 đúng.

Ứng dụng 5: Xét dấu nghiệm

Khi phương trình có nghiệm (Δ ≥ 0): P < 0 thì hai nghiệm trái dấu; P > 0 và S > 0 thì hai nghiệm cùng dương; P > 0 và S < 0 thì hai nghiệm cùng âm. Để nắm thêm khái niệm đa thức và nghiệm, bạn có thể đọc kiến thức cơ bản về đa thức và phương trình bậc 3 có bao nhiêu nghiệm.

Lưu ý khi dùng hệ thức Vi-ét

• Luôn kiểm tra a ≠ 0 và Δ ≥ 0 trước khi áp dụng.
• Phân biệt dấu của b: S = −b/a, không phải b/a.
• Kiểm tra lại bằng cách thay nghiệm vào phương trình.
• Khi đề cho bất đẳng thức, ôn thêm cách giải ở bài bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Câu hỏi thường gặp

Hệ thức Vi-ét học ở lớp mấy?

Hệ thức Vi-ét và ứng dụng được học trong chương phương trình bậc hai một ẩn của Toán lớp 9.

Khi nào áp dụng được hệ thức Vi-ét?

Khi a ≠ 0 và phương trình có nghiệm, tức Δ ≥ 0 (hoặc Δ’ ≥ 0).

Công thức Vi-ét có dùng cho phương trình bậc ba không?

Có, nhưng ở dạng mở rộng với ba nghiệm; chương trình phổ thông thường chỉ nhấn mạnh phương trình bậc hai.

Hệ thức Vi-ét dùng để làm gì?

Dùng để nhẩm nghiệm, tìm hai số khi biết tổng và tích, tính biểu thức đối xứng và xét dấu nghiệm.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán 9 – Chương trình giáo dục phổ thông Việt Nam (Hệ thức Vi-ét và ứng dụng)