Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax + b < 0 (hoặc >, ≤, ≥) với a ≠ 0. Để giải, ta chuyển vế rồi chia hai vế cho a; nếu a là số âm thì phải đổi chiều bất đẳng thức. Nghiệm của bất phương trình là một khoảng (nửa khoảng) trên trục số.

Định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0), trong đó a, b là hai số đã cho, a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn x.

Ví dụ: 2x − 3 > 0; −5x + 1 ≤ 0 là các bất phương trình bậc nhất một ẩn. Còn 0x + 5 > 0 (a = 0) hoặc x² − 1 < 0 (bậc hai) thì không.

Hai quy tắc biến đổi

1. Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia, ta phải đổi dấu hạng tử đó. Quy tắc này giống với phương trình, bạn có thể ôn lại ở bài quy tắc chuyển vế và quy tắc đổi dấu trong biểu thức.

2. Quy tắc nhân (hoặc chia) với một số

• Nhân (chia) hai vế với cùng một số dương: giữ nguyên chiều bất đẳng thức.
• Nhân (chia) hai vế với cùng một số âm: đổi chiều bất đẳng thức.

Phép biến đổi	Ví dụ	Kết quả
Chia hai vế cho số dương	2x > 8, chia cho 2	x > 4
Chia hai vế cho số âm	−2x > 8, chia cho −2	x < −4 (đổi chiều)
Chuyển vế	x − 3 < 5	x < 8

Các bước giải

1. Quy đồng, khử mẫu (nếu có), bỏ ngoặc.
2. Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, hằng số sang vế kia.
3. Thu gọn về dạng ax < c (hoặc >, ≤, ≥).
4. Chia hai vế cho a. Nếu a < 0 thì đổi chiều.
5. Kết luận tập nghiệm và biểu diễn trên trục số.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Giải 2x − 5 > 3

Chuyển vế: 2x > 3 + 5, tức 2x > 8. Chia hai vế cho 2 (số dương, giữ chiều): x > 4. Tập nghiệm: {x | x > 4}. Thử: x = 5 thì 2·5 − 5 = 5 > 3 đúng.

Ví dụ 2: Giải −3x + 6 ≥ 0

Chuyển vế: −3x ≥ −6. Chia hai vế cho −3 (số âm, đổi chiều): x ≤ 2. Tập nghiệm: {x | x ≤ 2}. Thử: x = 2 thì −6 + 6 = 0 ≥ 0 đúng; x = 3 thì −9 + 6 = −3 không thỏa.

Ví dụ 3: Giải (x − 1)/2 < (2x + 1)/3

Quy đồng mẫu 6, nhân hai vế với 6 (dương): 3(x − 1) < 2(2x + 1). Bỏ ngoặc: 3x − 3 < 4x + 2. Chuyển vế: 3x − 4x < 2 + 3, tức −x < 5. Nhân hai vế với −1 (đổi chiều): x > −5. Tập nghiệm: {x | x > −5}.

Ví dụ 4: Giải 3(x − 2) − 2(x + 1) ≤ 5 − x

Bỏ ngoặc: 3x − 6 − 2x − 2 ≤ 5 − x, thu gọn: x − 8 ≤ 5 − x. Chuyển vế: x + x ≤ 5 + 8, tức 2x ≤ 13. Chia cho 2: x ≤ 6,5. Tập nghiệm: {x | x ≤ 6,5}.

Ví dụ 5: Giải 5 − 2x > 3x − 10

Chuyển vế: −2x − 3x > −10 − 5, tức −5x > −15. Chia hai vế cho −5 (đổi chiều): x < 3. Tập nghiệm: {x | x < 3}.

Biểu diễn tập nghiệm trên trục số

• x > a hoặc x < a: đánh dấu ngoặc “(” hoặc “)” tại a (đầu mở, không lấy a); thường vẽ vòng tròn rỗng.
• x ≥ a hoặc x ≤ a: dùng ngoặc vuông “[” hoặc “]” (đầu đóng, lấy a); thường vẽ chấm đặc.

Cách viết dạng khoảng: x > 4 viết là (4; +∞); x ≤ 2 viết là (−∞; 2]; x > −5 viết là (−5; +∞).

Sai lầm thường gặp

• Quên đổi chiều khi chia hoặc nhân hai vế với số âm.
• Khi chuyển vế quên đổi dấu hạng tử.
• Khi nhân cả hai vế với biểu thức chứa ẩn mà chưa biết dấu: không được làm ở lớp này.
• Viết sai tập nghiệm: dùng “=” thay vì ký hiệu bất đẳng thức; hoặc quên rằng x ≤ a lấy cả a.

Nếu cần học thêm các dạng khác, hãy xem bài phương trình bậc 3 có bao nhiêu nghiệm và hệ thức Vi-ét để mở rộng sang phương trình bậc cao.

Câu hỏi thường gặp

Khi nào phải đổi chiều bất phương trình?

Khi nhân hoặc chia hai vế với cùng một số âm.

Bất phương trình bậc nhất một ẩn có bao nhiêu nghiệm?

Có vô số nghiệm: tập nghiệm là một khoảng hoặc nửa khoảng trên trục số.

x ≥ 3 và x > 3 khác gì nhau?

x ≥ 3 lấy cả giá trị 3, còn x > 3 không lấy giá trị 3.

Làm sao kiểm tra đáp án?

Thay một giá trị trong tập nghiệm vào bất phương trình ban đầu; nếu bất đẳng thức đúng thì kết quả hợp lý. Nên thử cả giá trị ngoài tập nghiệm.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán THCS – Chương trình giáo dục phổ thông Việt Nam (bài Bất phương trình bậc nhất một ẩn)