Định lý Talet là gì? Định lý đảo, hệ quả và bài tập

Định lý Talet (Ta-lét) trong tam giác: nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Cụ thể, trong tam giác ABC, nếu MN ∥ BC (M thuộc AB, N thuộc AC) thì AM/AB = AN/AC.

Phát biểu định lý Talet thuận

Cho tam giác ABC. Đường thẳng d song song với BC, cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh AC tại N. Khi đó ta có ba tỉ lệ thức:

• AM/AB = AN/AC
• AM/MB = AN/NC
• MB/AB = NC/AC

Cách nhớ: các đoạn thẳng “tương ứng” là các đoạn nằm cùng phía so với đường thẳng song song. AM ứng với AN (cùng phía đỉnh A), MB ứng với NC (cùng phía cạnh đáy BC). Định lý này được học trong chương trình Toán 8 và là nền tảng để học tam giác đồng dạng.

Vì các tỉ số trên bằng nhau nên ta có thể dùng tính chất của tỉ lệ thức (tích trung tỉ bằng tích ngoại tỉ) để tìm đoạn thẳng chưa biết.

Định lý Ta-lét đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại.

Tức là trong tam giác ABC, M thuộc AB, N thuộc AC, nếu AM/MB = AN/NC (hoặc AM/AB = AN/AC) thì MN ∥ BC. Định lý đảo là một trong những cách hay dùng để chứng minh hai đường thẳng song song.

Hệ quả của định lý Ta-lét

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác (hoặc cắt phần kéo dài của hai cạnh) và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho:

AM/AB = AN/AC = MN/BC

Khác biệt quan trọng: định lý thuận chỉ nói về các đoạn nằm trên hai cạnh bên, còn hệ quả có thêm tỉ số với cạnh song song MN/BC. Hệ quả vẫn đúng khi M, N nằm trên phần kéo dài của AB, AC về phía A.

Bảng tóm tắt định lý thuận, đảo và hệ quả

Nội dung	Giả thiết	Kết luận
Định lý thuận	MN ∥ BC, M ∈ AB, N ∈ AC	AM/AB = AN/AC; AM/MB = AN/NC; MB/AB = NC/AC
Định lý đảo	M ∈ AB, N ∈ AC, AM/MB = AN/NC	MN ∥ BC
Hệ quả	MN ∥ BC	AM/AB = AN/AC = MN/BC

Bài tập định lý Talet có lời giải

Bài 1: Tìm độ dài đoạn thẳng

Cho tam giác ABC, MN ∥ BC với M ∈ AB, N ∈ AC. Biết AM = 2 cm, MB = 3 cm, AN = 4 cm. Tính NC.

1. Vì MN ∥ BC, theo định lý Ta-lét: AM/MB = AN/NC.
2. Thay số: 2/3 = 4/NC.
3. Suy ra NC = 3 · 4 / 2 = 6 cm.

Bài 2: Áp dụng hệ quả

Cho tam giác ABC có BC = 12 cm. Trên AB lấy M sao cho AM = 3 cm, AB = 9 cm. Qua M kẻ đường thẳng song song BC cắt AC tại N. Tính MN.

1. MN ∥ BC nên theo hệ quả: AM/AB = MN/BC.
2. Thay số: 3/9 = MN/12.
3. MN = 12 · 3 / 9 = 4 cm.

Bài 3: Chứng minh song song bằng định lý đảo

Cho tam giác ABC, M ∈ AB, N ∈ AC với AM = 4 cm, MB = 6 cm, AN = 6 cm, NC = 9 cm. Chứng minh MN ∥ BC.

1. Tính AM/MB = 4/6 = 2/3 và AN/NC = 6/9 = 2/3.
2. Suy ra AM/MB = AN/NC.
3. Theo định lý Ta-lét đảo, MN ∥ BC.

Bài 4: Ứng dụng đo chiều cao

Một cọc thẳng đứng cao 1,5 m có bóng dài 2 m trên mặt đất. Cùng lúc đó, bóng của một cái cây dài 12 m. Tính chiều cao cây.

Tia nắng song song nên tỉ số chiều cao và độ dài bóng như nhau (hệ quả định lý Ta-lét): h/12 = 1,5/2. Suy ra h = 12 · 1,5 / 2 = 9 m.

Định lý Ta-lét và tam giác đồng dạng

Từ hệ quả, tam giác AMN có ba cạnh tỉ lệ với ba cạnh tam giác ABC, nên tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC. Đây là định lý mở đầu cho phần các trường hợp đồng dạng của tam giác. Một trường hợp đặc biệt quen thuộc: nếu M là trung điểm AB và MN ∥ BC thì N là trung điểm AC và MN = BC/2, đó chính là đường trung bình của tam giác.

Sai lầm thường gặp

• Viết tỉ số không tương ứng, ví dụ AM/MB = NC/AN. Luôn giữ thứ tự: đoạn gần đỉnh chung so với đoạn gần cạnh đáy ở cả hai vế.
• Dùng tỉ số MN/BC = AM/MB. Sai, vì cạnh song song chỉ tỉ lệ với cả cạnh AB, tức MN/BC = AM/AB.
• Áp dụng định lý thuận khi chưa chứng minh được MN ∥ BC.

Câu hỏi thường gặp

Định lý Talet học ở lớp mấy?

Định lý Talet trong tam giác được học ở chương trình Toán 8. Lên lớp 11, học sinh còn gặp định lý Ta-lét trong không gian.

Định lý Talet đảo dùng để làm gì?

Định lý đảo dùng để chứng minh hai đường thẳng song song khi biết các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Talet hay Ta-lét, viết thế nào mới đúng?

Sách giáo khoa Việt Nam viết là Ta-lét, phiên âm tên nhà toán học Hy Lạp cổ đại Thales. Cách viết Talet cũng được dùng phổ biến và chỉ cùng một định lý.

Hệ quả định lý Ta-lét khác định lý thuận ở đâu?

Hệ quả có thêm tỉ số của cạnh song song: AM/AB = AN/AC = MN/BC, còn định lý thuận chỉ nói về các đoạn trên hai cạnh bên.