Hình tứ giác là gì? Phân loại và công thức tính

Hình tứ giác là hình phẳng có 4 cạnh, 4 đỉnh và 4 góc, trong đó tổng số đo bốn góc luôn bằng 360°. Theo sách giáo khoa Toán 8, tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác đó. Các tứ giác đặc biệt thường học ở phổ thông gồm hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật và hình vuông.

Định nghĩa và các yếu tố của hình tứ giác

Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó không có hai đoạn nào cùng nằm trên một đường thẳng. Mỗi tứ giác có:

• 4 đỉnh: A, B, C, D.
• 4 cạnh: AB, BC, CD, DA. Hai cạnh AB và CD gọi là hai cạnh đối, tương tự BC và DA.
• 4 góc trong, tổng bằng 360°.
• 2 đường chéo: AC và BD, nối hai đỉnh không kề nhau.

Tứ giác được chia thành tứ giác lồi và tứ giác không lồi (lõm). Chương trình phổ thông Việt Nam khi nói “tứ giác” thường hiểu là tứ giác lồi.

Vì sao tổng bốn góc của tứ giác bằng 360°?

Chỉ cần vẽ một đường chéo, chẳng hạn AC. Đường chéo này chia tứ giác ABCD thành hai tam giác ABC và ACD. Mỗi tam giác có tổng ba góc bằng 180°, nên tổng các góc của hai tam giác là 180° × 2 = 360°. Các góc đó ghép lại đúng bằng bốn góc của tứ giác, nên tổng bốn góc tứ giác bằng 360°.

Công thức tổng quát cho đa giác n cạnh là (n − 2) × 180°. Thay n = 4 được 360°; thay n = 6 được 720° — đó cũng là tổng các góc trong của hình lục giác. Với hình lục giác đều, mỗi góc bằng 720° ÷ 6 = 120°.

Ví dụ. Tứ giác ABCD có góc A = 80°, góc B = 110°, góc C = 95°. Tính góc D.

• Bước 1: Tổng bốn góc bằng 360°.
• Bước 2: Góc D = 360° − (80° + 110° + 95°) = 360° − 285°.
• Kết quả: góc D = 75°.

Bảng phân loại tứ giác, dấu hiệu nhận biết và công thức tính

Loại tứ giác	Dấu hiệu nhận biết	Chu vi	Diện tích
Hình thang	Có ít nhất một cặp cạnh đối song song (hai cạnh đó gọi là hai đáy a và b)	P = a + b + c + d (tổng 4 cạnh)	S = (a + b) × h ÷ 2
Hình thang cân	Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau, hoặc hai đường chéo bằng nhau	P = a + b + 2c (hai cạnh bên bằng nhau)	S = (a + b) × h ÷ 2
Hình bình hành	Hai cặp cạnh đối song song; hoặc hai cặp cạnh đối bằng nhau; hoặc một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau; hoặc hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường	P = 2 × (a + b)	S = a × h (h là chiều cao ứng với cạnh a)
Hình thoi	Hình bình hành có bốn cạnh bằng nhau; hoặc có hai đường chéo vuông góc; hoặc có một đường chéo là phân giác của một góc	P = 4a	S = d₁ × d₂ ÷ 2, hoặc S = a × h
Hình chữ nhật	Tứ giác có ba góc vuông; hoặc hình bình hành có một góc vuông; hoặc hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau	P = 2 × (a + b)	S = a × b
Hình vuông	Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau; hoặc hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc; hoặc hình thoi có một góc vuông	P = 4a	S = a², hoặc S = d² ÷ 2

Quan hệ bao hàm giữa các loại rất đáng nhớ: hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi; hình chữ nhật và hình thoi đều là hình bình hành; hình bình hành là một hình thang đặc biệt (có hai cặp cạnh song song). Vì vậy câu “hình vuông có phải hình chữ nhật không” có đáp án là có, nhưng ngược lại thì không đúng.

Ví dụ có lời giải từng bước

Ví dụ 1 – Hình chữ nhật. Hình chữ nhật có hai cạnh 8 cm và 5 cm.

• Chu vi: P = 2 × (8 + 5) = 2 × 13 = 26 cm.
• Diện tích: S = 8 × 5 = 40 cm².

Ví dụ 2 – Hình thoi. Hình thoi có hai đường chéo d₁ = 12 cm và d₂ = 16 cm. Tính diện tích và chu vi.

• Bước 1: Diện tích S = 12 × 16 ÷ 2 = 192 ÷ 2 = 96 cm².
• Bước 2: Hai đường chéo hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm, nên nửa đường chéo là 6 cm và 8 cm. Cạnh hình thoi là cạnh huyền của tam giác vuông hai cạnh góc vuông 6 và 8: a = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm.
• Bước 3: Chu vi P = 4 × 10 = 40 cm.

Ví dụ 3 – Hình thang. Hình thang có hai đáy 10 cm và 6 cm, chiều cao 4 cm. Diện tích S = (10 + 6) × 4 ÷ 2 = 16 × 4 ÷ 2 = 64 ÷ 2 = 32 cm².

Ví dụ 4 – Hình bình hành. Hình bình hành có hai cạnh 7 cm và 5 cm, chiều cao ứng với cạnh 7 cm là 4 cm. Chu vi P = 2 × (7 + 5) = 24 cm; diện tích S = 7 × 4 = 28 cm².

Ví dụ 5 – Hình vuông. Hình vuông cạnh 6 cm có chu vi P = 4 × 6 = 24 cm, diện tích S = 6² = 36 cm², đường chéo d = 6√2 ≈ 8,49 cm.

Diện tích tứ giác bất kỳ tính thế nào?

Khi tứ giác không thuộc loại đặc biệt nào, cách phổ thông nhất là chia nó thành hai tam giác bằng một đường chéo, tính diện tích từng tam giác rồi cộng lại. Riêng trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc, diện tích bằng nửa tích hai đường chéo, giống như hình thoi.

Nhiều bài toán tứ giác sẽ dẫn bạn về kiến thức tam giác: bất đẳng thức tam giác để kiểm tra bộ ba cạnh có vẽ được không, định lý Talet khi có cạnh song song, hay điều kiện để hai đường thẳng song song khi cần chứng minh một tứ giác là hình thang hoặc hình bình hành.

Lỗi thường gặp

• Nhầm chiều cao với cạnh bên. Trong công thức diện tích hình bình hành và hình thang, h là khoảng cách vuông góc giữa hai cạnh song song, không phải độ dài cạnh bên.
• Dùng công thức hình thoi cho hình bình hành. S = d₁ × d₂ ÷ 2 chỉ đúng khi hai đường chéo vuông góc, tức hình thoi hoặc hình vuông.
• Cho rằng hình thoi là hình vuông. Hình thoi chỉ thành hình vuông khi có thêm một góc vuông.
• Quên đơn vị bình phương cho diện tích, hoặc để lẫn cm với m trong cùng một phép tính.

Câu hỏi thường gặp

Tổng các góc của hình tứ giác bằng bao nhiêu?

Luôn bằng 360°, với mọi tứ giác lồi. Kết quả này suy ra từ công thức tổng góc trong đa giác (n − 2) × 180° khi n = 4.

Hình vuông có phải là hình tứ giác không?

Có. Hình vuông là một tứ giác đặc biệt: nó đồng thời là hình chữ nhật, hình thoi và hình bình hành, vì có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông.

Hình thoi và hình bình hành khác nhau ở điểm nào?

Hình thoi là hình bình hành có thêm điều kiện bốn cạnh bằng nhau. Hệ quả là hai đường chéo hình thoi vuông góc với nhau và là phân giác các góc, còn hình bình hành nói chung không có tính chất đó.

Hình lục giác có bao nhiêu cạnh và tổng góc bao nhiêu?

Hình lục giác có 6 cạnh, tổng các góc trong bằng (6 − 2) × 180° = 720°. Nếu là lục giác đều thì mỗi góc bằng 120° và các cạnh bằng nhau.

Làm sao chứng minh một tứ giác là hình bình hành?

Chỉ cần chỉ ra một trong các dấu hiệu: hai cặp cạnh đối song song; hai cặp cạnh đối bằng nhau; một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau; hai cặp góc đối bằng nhau; hoặc hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.