Công thức tính diện tích tam giác (đủ các loại)

Diện tích tam giác S = ½ × a × h, tức bằng một nửa tích của độ dài một cạnh đáy a và chiều cao h tương ứng với cạnh đó. Ví dụ tam giác có đáy 6 cm, chiều cao 4 cm thì S = ½ × 6 × 4 = 12 cm².

Công thức tính diện tích tam giác thường

Với tam giác ABC bất kỳ, gọi a là độ dài cạnh BC và h là đường cao kẻ từ A xuống BC (vuông góc với BC), ta có:

S = (a × h) ÷ 2

Lưu ý: a và h phải “tương ứng” – chiều cao phải vuông góc với đúng cạnh đáy được chọn, và cả hai cùng đơn vị. Diện tích có đơn vị bình phương (cm², m²…). Bạn có thể chọn bất kỳ cạnh nào làm đáy, miễn là dùng đúng đường cao ứng với nó; kết quả luôn như nhau.

Bảng tổng hợp công thức theo từng loại tam giác

Trường hợp	Công thức	Ký hiệu
Tam giác thường	S = ½·a·h	a: cạnh đáy, h: chiều cao tương ứng
Tam giác vuông	S = ½·a·b	a, b: hai cạnh góc vuông
Tam giác đều	S = a²√3 ÷ 4	a: độ dài cạnh
Tam giác cân	S = ½·đáy·h, với h = √(cạnh bên² − (đáy÷2)²)	h là đường cao hạ từ đỉnh
Biết ba cạnh (Heron)	S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)]	p = (a + b + c) ÷ 2
Biết hai cạnh và góc xen giữa	S = ½·a·b·sin C	C: góc giữa hai cạnh a, b
Biết bán kính đường tròn nội tiếp	S = p·r	r: bán kính đường tròn nội tiếp
Biết toạ độ A, B, C	S = ½·|(xB − xA)(yC − yA) − (xC − xA)(yB − yA)|	Chương trình Toán 10

Ví dụ có lời giải từng bước

Ví dụ 1 (tam giác thường). Tam giác ABC có đáy BC = 6 cm, đường cao AH = 4 cm. Tính diện tích.

Lời giải: S = ½ × 6 × 4 = 12 (cm²).

Ví dụ 2 (tam giác vuông). Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 cm và 4 cm. Tính diện tích và đường cao hạ từ đỉnh góc vuông.

Lời giải: S = ½ × 3 × 4 = 6 (cm²). Cạnh huyền = √(3² + 4²) = 5 cm. Từ S = ½ × 5 × h = 6 suy ra h = 12 ÷ 5 = 2,4 (cm). Xem thêm các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Ví dụ 3 (tam giác đều). Tam giác đều cạnh 6 cm. Tính diện tích.

Lời giải: S = 6² × √3 ÷ 4 = 9√3 ≈ 15,59 (cm²).

Ví dụ 4 (tam giác cân). Tam giác cân có đáy 10 cm, cạnh bên 13 cm. Tính diện tích.

Lời giải: Đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy chia đáy thành hai đoạn 5 cm. h = √(13² − 5²) = √144 = 12 (cm). S = ½ × 10 × 12 = 60 (cm²).

Ví dụ 5 (công thức Heron). Tam giác có ba cạnh 13 cm, 14 cm, 15 cm. Tính diện tích.

Lời giải: p = (13 + 14 + 15) ÷ 2 = 21. S = √[21 × (21 − 13) × (21 − 14) × (21 − 15)] = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84 (cm²). Muốn kiểm tra: lấy 14 làm đáy thì chiều cao tương ứng là 12 cm, S = ½ × 14 × 12 = 84 ✓.

Ví dụ 6 (dùng sin). Tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 5 cm, góc A = 30°. Tính diện tích.

Lời giải: S = ½ × 8 × 5 × sin 30° = ½ × 8 × 5 × 0,5 = 10 (cm²).

Ví dụ 7 (toạ độ). Cho A(0; 0), B(4; 0), C(1; 3). Tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải: S = ½ × |(4 − 0)(3 − 0) − (1 − 0)(0 − 0)| = ½ × |12 − 0| = 6 (đơn vị diện tích). Cách kiểm tra: đáy AB = 4 nằm trên trục hoành, chiều cao bằng tung độ của C là 3, nên S = ½ × 4 × 3 = 6 ✓.

Ví dụ 8 (bán kính nội tiếp). Với tam giác 13, 14, 15 ở trên, tính bán kính đường tròn nội tiếp.

Lời giải: S = p·r ⇒ r = 84 ÷ 21 = 4 (cm).

Mẹo chọn công thức nhanh

• Có sẵn chiều cao → dùng S = ½·a·h.
• Tam giác vuông → lấy hai cạnh góc vuông nhân rồi chia 2.
• Chỉ cho ba cạnh → Heron (nhớ kiểm tra bất đẳng thức tam giác: tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại, xem bài tam giác có bao nhiêu bất đẳng thức).
• Cho góc → dùng sin; cho toạ độ → dùng công thức toạ độ.
• Hai tam giác cùng đáy, cùng chiều cao thì diện tích bằng nhau. Đây là cơ sở cho nhiều bài về đường trung tuyến: mỗi trung tuyến chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Sai lầm thường gặp

• Quên nhân ½ (chia 2), nên ra diện tích hình bình hành hoặc hình chữ nhật.
• Dùng cạnh bên thay cho chiều cao khi tam giác không vuông.
• Chọn chiều cao không ứng với cạnh đáy đã chọn.
• Quên đổi đơn vị trước khi tính (cm với m) hoặc ghi sai đơn vị diện tích.
• Dùng công thức Heron mà quên p là nửa chu vi, không phải cả chu vi.

Câu hỏi thường gặp

Diện tích tam giác học ở lớp mấy?

Công thức S = ½·a·h được học ở lớp 5 (tiểu học), sau đó mở rộng ở Toán 8, 9 (tam giác vuông, đều) và Toán 10 (công thức Heron, công thức dùng sin, toạ độ).

Không biết chiều cao thì tính diện tích tam giác thế nào?

Nếu biết ba cạnh, dùng công thức Heron. Nếu biết hai cạnh và góc xen giữa, dùng S = ½·a·b·sin C. Nếu có toạ độ ba đỉnh, dùng công thức toạ độ.

Diện tích tam giác đều tính thế nào?

S = a²√3 ÷ 4, trong đó a là độ dài cạnh. Cạnh 6 cm cho diện tích 9√3 ≈ 15,59 cm².

Diện tích tam giác có luôn bằng nửa hình chữ nhật không?

Với tam giác có đáy a và chiều cao h, diện tích bằng nửa diện tích hình chữ nhật có hai kích thước a và h. Bạn cũng có thể so với công thức tính diện tích hình vuông để thấy sự khác nhau giữa các hình.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán – chương trình giáo dục phổ thông Việt Nam