Công thức tính diện tích tam giác đều kèm ví dụ

Diện tích tam giác đều cạnh a là S = a²√3 : 4. Ví dụ tam giác đều cạnh 6 cm có diện tích 6² × √3 : 4 = 9√3 ≈ 15,59 cm².

Tam giác đều là gì?

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau; vì vậy ba góc bằng nhau và mỗi góc bằng 60°. Trong tam giác đều, đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực và đường phân giác xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau. Ba đường này đồng quy tại một điểm, vừa là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.

Công thức tính diện tích tam giác đều

S = (a² × √3) : 4, với a là độ dài cạnh (đơn vị vuông: cm², m²…).

Chứng minh công thức

Kẻ đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh BC. Vì tam giác đều nên H là trung điểm BC, HB = a : 2. Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông AHB: AH² = a² − (a/2)² = 3a² : 4, suy ra h = a√3 : 2. Diện tích S = (1/2) × cạnh đáy × chiều cao = (1/2) × a × a√3 : 2 = a²√3 : 4.

Các công thức liên quan

• Chu vi: P = 3a.
• Chiều cao: h = a√3 : 2.
• Biết chiều cao h: a = 2h : √3 và S = h² : √3 = h²√3 : 3.
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = a√3 : 3 (bằng 2/3 chiều cao).
• Bán kính đường tròn nội tiếp: r = a√3 : 6 (bằng 1/3 chiều cao). Xem thêm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác.
• Công thức Hê-rông: với p = 3a : 2, S = √(p(p − a)³) = √((3a/2)(a/2)³) = a²√3 : 4, cho cùng kết quả.

Các bước tính diện tích tam giác đều

1. Xác định độ dài cạnh a (đổi về cùng đơn vị nếu cần).
2. Tính a².
3. Nhân với √3 (≈ 1,7321).
4. Chia cho 4.
5. Ghi kết quả kèm đơn vị vuông, có thể để dạng căn thức hoặc làm tròn theo yêu cầu.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tính diện tích tam giác đều cạnh 6 cm.

Lời giải: S = 6² × √3 : 4 = 36√3 : 4 = 9√3 ≈ 15,59 (cm²). Kiểm tra bằng đáy nhân cao: h = 6√3 : 2 = 3√3, S = (1/2) × 6 × 3√3 = 9√3 ✓.

Ví dụ 2. Tam giác đều có cạnh 10 m. Tính chu vi, chiều cao và diện tích (làm tròn hai chữ số thập phân).

Lời giải: P = 3 × 10 = 30 (m). h = 10√3 : 2 = 5√3 ≈ 8,66 (m). S = 10² × √3 : 4 = 25√3 ≈ 43,3 (m²).

Ví dụ 3. Tam giác đều có diện tích 16√3 cm². Tìm cạnh.

Lời giải: a²√3 : 4 = 16√3 nên a² = 64, suy ra a = 8 (cm). Chu vi là 24 cm.

Ví dụ 4. Tam giác đều có chiều cao 9 cm. Tính diện tích.

Lời giải: a = 2h : √3 = 18 : √3 = 6√3 ≈ 10,39 (cm). S = h² : √3 = 81 : √3 = 27√3 ≈ 46,77 (cm²). Kiểm tra: a²√3 : 4 = 108√3 : 4 = 27√3 ✓.

Ví dụ 5. Tam giác đều ABC cạnh 12 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp.

Lời giải: R = 12√3 : 3 = 4√3 ≈ 6,93 (cm); r = 12√3 : 6 = 2√3 ≈ 3,46 (cm). Thấy R = 2r.

Bảng giá trị theo độ dài cạnh

Cạnh a	Chu vi 3a	Chiều cao h = a√3/2	Diện tích S = a²√3/4	Bán kính ngoại tiếp R = a√3/3	Bán kính nội tiếp r = a√3/6
1	3	0,87	0,43	0,58	0,29
2	6	1,73	1,73	1,15	0,58
3	9	2,6	3,9	1,73	0,87
4	12	3,46	6,93	2,31	1,15
5	15	4,33	10,83	2,89	1,44
6	18	5,2	15,59	3,46	1,73
8	24	6,93	27,71	4,62	2,31
10	30	8,66	43,3	5,77	2,89
12	36	10,39	62,35	6,93	3,46
20	60	17,32	173,21	11,55	5,77

Ứng dụng thực tế

• Tính diện tích biển báo tam giác đều, mái lều, khung kim loại.
• Tính diện tích gạch lát hình lục giác đều: một lục giác đều cạnh a gồm 6 tam giác đều cạnh a nên diện tích là 6 × a²√3 : 4 = 3a²√3 : 2.
• Làm cơ sở cho bài toán hình học không gian, tứ diện đều và hình chóp tam giác đều.

Ví dụ với lục giác đều cạnh 4 cm: S = 3 × 16 × √3 : 2 = 24√3 ≈ 41,57 cm². Ghép hai tam giác đều chung một cạnh sẽ được một hình thoi có các góc 60° và 120°; diện tích hình thoi này là a²√3 : 2, gấp đôi tam giác đều. Để làm bài nâng cao hãy ôn thêm hệ thức cạnh và góc trong tam giác vuông.

Sai lầm thường gặp

• Quên chia cho 4, hoặc nhầm thành a²√3 : 2.
• Nhầm √3 với 3 hoặc 1,73 rồi làm tròn quá sớm; nên giữ dạng căn đến bước cuối.
• Dùng công thức đáy nhân cao mà quên chia 2.
• Dùng công thức này cho tam giác cân hoặc tam giác thường; nó chỉ đúng với tam giác đều.

Câu hỏi thường gặp

Công thức tính diện tích tam giác đều là gì?

S = a²√3 : 4, trong đó a là độ dài cạnh. Ví dụ a = 6 cm cho S = 9√3 ≈ 15,59 cm².

Chiều cao tam giác đều tính thế nào?

h = a√3 : 2. Tam giác đều cạnh 10 cm có chiều cao 5√3 ≈ 8,66 cm.

Biết diện tích, tìm cạnh tam giác đều như thế nào?

Từ S = a²√3 : 4 suy ra a = √(4S : √3) = 2√(S : √3). Ví dụ S = 16√3 thì a² = 64 và a = 8.

Diện tích tam giác đều có áp dụng công thức Hê-rông được không?

Được. Với ba cạnh bằng a, nửa chu vi p = 3a : 2 và S = √(p(p − a)³) = a²√3 : 4, trùng với công thức riêng.

Chu vi tam giác đều tính thế nào?

P = 3a. Tam giác đều cạnh 8 cm có chu vi 24 cm.

Nguồn tham khảo

• Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2018)