Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có hai nhóm hệ thức: về cạnh và đường cao (b² = a·b’, c² = a·c’, h² = b’·c’, a·h = b·c, 1/h² = 1/b² + 1/c²) và về cạnh và góc (b = a·sinB = a·cosC, c = a·sinC = a·cosB, b = c·tanB = c·cotC). Đây là kiến thức trọng tâm của phần hệ thức lượng trong tam giác vuông ở Toán 9.

Quy ước kí hiệu

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đặt BC = a (cạnh huyền), AC = b, AB = c, AH = h, BH = c’ (hình chiếu của AB trên BC), CH = b’ (hình chiếu của AC trên BC). Khi đó b’ + c’ = a.

Hệ thức về cạnh và đường cao

Hệ thức	Nội dung	Phát biểu bằng lời
1	b² = a·b’; c² = a·c’	Bình phương cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền và hình chiếu của nó
2	h² = b’·c’	Bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu
3	a·h = b·c	Tích cạnh huyền và đường cao bằng tích hai cạnh góc vuông
4	1/h² = 1/b² + 1/c²	Nghịch đảo bình phương đường cao bằng tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông
5 (Pytago)	a² = b² + c²	Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông

Ví dụ 1. Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm, đường cao AH. Tính BC, AH, BH, CH.

Lời giải.

• Theo Pytago: BC² = 6² + 8² = 100 nên BC = 10 cm.
• Từ a·h = b·c: AH = (6 · 8) / 10 = 4,8 cm.
• Từ c² = a·c’: BH = 6² / 10 = 3,6 cm.
• Từ b² = a·b’: CH = 8² / 10 = 6,4 cm.

Kiểm tra: BH + CH = 3,6 + 6,4 = 10 = BC; AH² = 23,04 = 3,6 · 6,4 (đúng hệ thức 2); 1/36 + 1/64 = 100/2304 = 1/23,04 = 1/AH² (đúng hệ thức 4).

Hệ thức về cạnh và góc

Với tam giác ABC vuông tại A, tỉ số lượng giác của góc nhọn được định nghĩa: sin = đối / huyền, cos = kề / huyền, tan = đối / kề, cot = kề / đối. Từ đó suy ra:

• b = a·sinB = a·cosC; c = a·sinC = a·cosB.
• b = c·tanB = c·cotC; c = b·tanC = b·cotB.

Phát biểu: Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc côsin góc kề; bằng cạnh góc vuông còn lại nhân với tang góc đối hoặc côtang góc kề. Chi tiết bảng giá trị xem bài tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Ví dụ 2. Tam giác ABC vuông tại A, BC = 10 cm, góc B = 30°. Tính AC, AB.

Lời giải. AC = BC · sinB = 10 · sin30° = 10 · 0,5 = 5 cm. AB = BC · cosB = 10 · cos30° = 10 · (√3 / 2) = 5√3 ≈ 8,66 cm. Kiểm tra bằng Pytago: 5² + (5√3)² = 25 + 75 = 100 = 10².

Ví dụ 3. Tam giác ABC vuông tại A, AC = 7 cm, góc B = 40°. Tính AB (làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải. AC = AB · tanB nên AB = AC / tanB = 7 / tan40° ≈ 7 / 0,8391 ≈ 8,34 cm.

Ví dụ 4. Với AB = 6 cm, AC = 8 cm (như ví dụ 1), tính góc B.

Lời giải. tanB = AC / AB = 8 / 6 = 4/3. Dùng máy tính: B ≈ 53,13° (làm tròn đến hàng phần trăm). Suy ra góc C = 90° − 53,13° = 36,87°.

Giải tam giác vuông

Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và góc chưa biết. Cần biết ít nhất hai yếu tố (trong đó có ít nhất một cạnh). Các bước: (1) tìm góc nhọn còn lại bằng 90° trừ góc đã biết; (2) tìm cạnh bằng hệ thức cạnh và góc; (3) kiểm tra lại bằng Pytago.

Ứng dụng thực tế

Hệ thức này dùng để tính chiều cao cây, tòa nhà hay độ dốc mái khi đo được khoảng cách và góc nhìn, ví dụ chiều cao = khoảng cách · tan(góc nâng). Mối liên hệ với trung tuyến ứng với cạnh huyền (bằng nửa cạnh huyền) có trong bài đường trung tuyến trong tam giác. Khi tam giác vuông có các cạnh tỉ lệ, bạn có thể ghép với định lý Talet hoặc các trường hợp đồng dạng của tam giác; công thức lượng giác đầy đủ xem ở công thức lượng giác.

Lỗi thường gặp

• Nhầm cạnh đối và cạnh kề khi xác định theo góc cần xét; hãy vẽ hình và đánh dấu góc.
• Máy tính để sai chế độ (radian thay vì độ).
• Dùng hệ thức khi tam giác không vuông.

Câu hỏi thường gặp

Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông là gì?

Các hệ thức chính gồm b² = a·b’ và c² = a·c’, h² = b’·c’, a·h = b·c, 1/h² = 1/b² + 1/c²; ngoài ra còn định lý Pytago.

Sin, cos, tan của góc nhọn tính thế nào?

sin = cạnh đối / cạnh huyền; cos = cạnh kề / cạnh huyền; tan = cạnh đối / cạnh kề; cot = cạnh kề / cạnh đối.

Cần biết những yếu tố nào để giải tam giác vuông?

Cần biết ít nhất hai yếu tố, trong đó có ít nhất một cạnh (hai cạnh, hoặc một cạnh và một góc nhọn).

Hệ thức Pytago có nằm trong các hệ thức này không?

Có, a² = b² + c². Đây là hệ thức cơ bản nhất của tam giác vuông.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán 9, tập 1 – Bộ Giáo dục và Đào tạo