Tỉ số lượng giác của góc nhọn: công thức và bảng

Trả lời nhanh: với góc nhọn α trong một tam giác vuông, sin α = cạnh đối / cạnh huyền, cos α = cạnh kề / cạnh huyền, tan α = cạnh đối / cạnh kề, cot α = cạnh kề / cạnh đối. Bốn tỉ số này chỉ phụ thuộc độ lớn của góc α, không phụ thuộc tam giác lớn hay nhỏ.

Định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Xét tam giác ABC vuông tại A, góc nhọn B = α. Khi đó BC là cạnh huyền, AC là cạnh đối của góc B, AB là cạnh kề của góc B. Ta có:

• sin α = AC / BC (đối / huyền)
• cos α = AB / BC (kề / huyền)
• tan α = AC / AB (đối / kề)
• cot α = AB / AC (kề / đối)

Hai tam giác vuông có cùng góc nhọn α thì đồng dạng nên các tỉ số trên không đổi; đó là lý do ta lập được bảng giá trị dùng chung. Xem thêm các trường hợp đồng dạng của tam giác.

Tính chất cần nhớ

• 0 < sin α < 1 và 0 < cos α < 1, vì cạnh huyền luôn là cạnh dài nhất.
• sin²α + cos²α = 1 (suy ra từ định lý Pytago).
• tan α = sin α / cos α; cot α = cos α / sin α; tan α · cot α = 1.
• 1 + tan²α = 1 / cos²α và 1 + cot²α = 1 / sin²α.
• Góc nhọn tăng thì sin và tan tăng, còn cos và cot giảm.
• Hai góc phụ nhau: sin α = cos(90° − α), tan α = cot(90° − α).

Bảng tỉ số lượng giác các góc đặc biệt

Góc α	sin α	cos α	tan α	cot α
30°	1/2	√3/2	√3/3	√3
45°	√2/2	√2/2	1	1
60°	√3/2	1/2	√3	√3/3

Giá trị gần đúng: √2/2 ≈ 0,707; √3/2 ≈ 0,866; √3 ≈ 1,732; √3/3 ≈ 0,577.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 cm, AC = 4 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B.

1. Tính cạnh huyền theo định lý Pytago: BC = √(3² + 4²) = √25 = 5 cm.
2. Góc B có cạnh đối là AC = 4, cạnh kề là AB = 3, cạnh huyền BC = 5.
3. sin B = 4/5 = 0,8; cos B = 3/5 = 0,6; tan B = 4/3 ≈ 1,333; cot B = 3/4 = 0,75.

Kiểm tra lại: sin²B + cos²B = 0,64 + 0,36 = 1, vậy kết quả đúng. Nếu cần ôn lại cách tính cạnh huyền, xem bài định lý Pitago.

Ví dụ 2. Tam giác ABC vuông tại A, góc B = 30°, BC = 12 cm. Tính AC và AB.

1. AC là cạnh đối của góc B nên AC = BC · sin 30° = 12 · 1/2 = 6 cm.
2. AB là cạnh kề nên AB = BC · cos 30° = 12 · √3/2 = 6√3 ≈ 10,39 cm.

Ví dụ 3. Thang dài 5 m dựa vào tường, chân thang cách tường 2,5 m. Khi đó cos α = 2,5/5 = 0,5 nên góc giữa thang và mặt đất là α = 60°.

Lỗi thường gặp

• Nhầm cạnh đối với cạnh kề khi chuyển sang xét góc còn lại. Hãy ghi rõ góc đang xét trước khi lập tỉ số.
• Dùng các tỉ số này cho tam giác không vuông. Khi đó phải dùng công cụ khác, không áp dụng trực tiếp định nghĩa trên.
• Để máy tính ở chế độ Radian. Hãy đặt về Degree (chữ D hoặc DEG trên màn hình) khi tính góc theo độ.
• Quên ghi đơn vị độ sau số đo góc khi trình bày bài.

Học thêm: bảng công thức lượng giác đầy đủ và định lý Talet để giải nhanh các bài hình học có tỉ lệ cạnh.

Câu hỏi thường gặp

Tỉ số lượng giác của góc nhọn gồm những tỉ số nào?

Gồm 4 tỉ số: sin (đối/huyền), cos (kề/huyền), tan (đối/kề) và cot (kề/đối). Cả 4 chỉ phụ thuộc độ lớn của góc, không phụ thuộc kích thước tam giác.

Vì sao sin và cos của góc nhọn luôn nhỏ hơn 1?

Vì cạnh huyền là cạnh dài nhất trong tam giác vuông. Cạnh đối và cạnh kề đều ngắn hơn cạnh huyền nên tỉ số luôn nằm giữa 0 và 1. Nếu đề cho sin hoặc cos lớn hơn 1 thì số liệu sai.

Mẹo nhớ công thức tỉ số lượng giác là gì?

Nhiều học sinh dùng câu “Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, Cot kết đoàn”: Sin = Đối/Huyền, Cos = Kề/Huyền, Tan = Đối/Kề, Cot = Kề/Đối. Quan trọng là xác định đúng cạnh đối và cạnh kề theo góc đang xét.

Hai góc phụ nhau có quan hệ gì về tỉ số lượng giác?

Nếu hai góc phụ nhau, tức tổng bằng 90°, thì sin góc này bằng cos góc kia và tan góc này bằng cot góc kia. Ví dụ sin 30° = cos 60° = 0,5. Tính chất này giúp bạn đổi nhanh giữa các góc và kiểm tra lại kết quả.

Tỉ số lượng giác dùng để làm gì trong thực tế?

Dùng để tính cạnh hoặc góc không đo trực tiếp được: chiều cao cây và cột điện, độ dốc mái nhà, chiều dài thang cần dựng. Chỉ cần một cạnh và một góc nhọn là tính được phần còn lại.