Số nguyên là gì? Tập hợp ℤ, số đối, ví dụ có lời giải

Số nguyên là các số gồm số nguyên dương (1, 2, 3,…), số 0 và số nguyên âm (−1, −2, −3,…). Tập hợp các số nguyên được kí hiệu là ℤ.

Tập hợp số nguyên ℤ

Ta viết ℤ = {…; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; …}. Theo chương trình Toán 6, tập ℤ được mở rộng từ tập số tự nhiên ℕ bằng cách thêm các số nguyên âm. Vì vậy ℕ là tập con của ℤ, kí hiệu ℕ ⊂ ℤ.

Loại số	Ví dụ	Ghi chú
Số nguyên dương	1; 5; 120	Lớn hơn 0
Số 0	0	Không dương, không âm
Số nguyên âm	−1; −7; −300	Nhỏ hơn 0, có dấu “−”

Biểu diễn số nguyên trên trục số

Vẽ một đường thẳng nằm ngang, chọn điểm gốc 0 và đơn vị dài. Số nguyên dương nằm bên phải điểm 0, số nguyên âm nằm bên trái. Càng sang phải số càng lớn. Vì vậy −2 > −5, vì −2 nằm bên phải −5. Cách so sánh chi tiết có trong bài thứ tự trong tập hợp các số nguyên.

Số đối và giá trị tuyệt đối

• Số đối: hai số nguyên cách đều điểm 0 về hai phía gọi là số đối nhau. Số đối của 4 là −4, số đối của −10 là 10, số đối của 0 là 0.
• Giá trị tuyệt đối: kí hiệu |a|, là khoảng cách từ a đến 0. Ví dụ |−6| = 6, |8| = 8, |0| = 0.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: 3; −8; 0; −2; 5.

Lời giải: số âm nhỏ hơn 0, và trong hai số âm thì số có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì nhỏ hơn. Vì |−8| = 8 > |−2| = 2 nên −8 < −2. Kết quả: −8 < −2 < 0 < 3 < 5.

Ví dụ 2. Tính (−7) + (−5).

Lời giải: hai số cùng dấu âm nên cộng hai giá trị tuyệt đối rồi đặt dấu “−”: 7 + 5 = 12, vậy (−7) + (−5) = −12. Xem thêm bài cộng hai số nguyên cùng dấu.

Ví dụ 3. Tính 8 + (−13).

Lời giải: hai số khác dấu, lấy giá trị tuyệt đối lớn trừ giá trị tuyệt đối nhỏ: 13 − 8 = 5, kết quả mang dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn, tức dấu “−”. Vậy 8 + (−13) = −5.

Ví dụ 4. Nhiệt độ sáng là −3°C, buổi trưa tăng thêm 9°C. Nhiệt độ buổi trưa: −3 + 9 = 6°C.

Số nguyên trong đời sống

Số nguyên âm dùng để chỉ nhiệt độ dưới 0°C, độ cao dưới mực nước biển, tầng hầm (tầng −1, −2), số tiền nợ hoặc lỗ. Số nguyên dương dùng cho số tiền có, độ cao trên mực nước biển, số điểm cộng.

Phân biệt với các loại số khác

Số nguyên là một phần của số hữu tỉ, vì mỗi số nguyên a có thể viết thành a/1. Tập số thực còn bao gồm cả số vô tỉ như √2 và π. Bạn có thể đọc thêm bài số thực có khác số nguyên không để thấy mối quan hệ ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Lỗi thường gặp

• Cho rằng −10 > −2 vì “10 lớn hơn 2”. Thực tế −10 < −2.
• Quên dấu ngoặc khi viết 5 + (−3), dễ nhầm với phép trừ.
• Nhầm số đối với số nghịch đảo: số đối của 4 là −4, còn nghịch đảo của 4 là 1/4.

Câu hỏi thường gặp

Số 0 có phải số nguyên không?

Có. Số 0 là số nguyên nhưng không phải số nguyên dương cũng không phải số nguyên âm.

Số nguyên khác số tự nhiên ở điểm nào?

Số tự nhiên chỉ gồm 0, 1, 2, 3,… còn số nguyên có thêm các số nguyên âm −1, −2, −3,… Mọi số tự nhiên đều là số nguyên nhưng không ngược lại.

Phân số, số thập phân có là số nguyên không?

Thường không. Ví dụ 1/2 và 0,5 không phải số nguyên. Chỉ khi phân số rút gọn được về mẫu 1, như 6/3 = 2, thì giá trị đó mới là số nguyên.

Giá trị tuyệt đối của số nguyên là gì?

Là khoảng cách từ số đó đến điểm 0 trên trục số, nên luôn không âm. Ví dụ |−9| = 9 và |9| = 9.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán 6 – Chương Số nguyên (Bộ Giáo dục và Đào tạo)