Nguyên hàm là gì? Tính chất và phương pháp tìm nguyên hàm

Nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K là hàm số F(x) sao cho F′(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Nếu F(x) là một nguyên hàm thì mọi hàm có tính chất đó đều có dạng F(x) + C, ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C (C là hằng số tuỳ ý).

Nguyên hàm là gì?

Đây là phép toán ngược của đạo hàm. Biết đạo hàm của hàm số, ta tìm lại hàm số ban đầu. Ví dụ (x²)′ = 2x nên x² là một nguyên hàm của 2x. Tuy nhiên x² + 5 hay x² − 3 cũng có đạo hàm bằng 2x, vì đạo hàm của hằng số bằng 0. Đó là lý do trong kết quả luôn có “+ C”.

Ký hiệu: ∫f(x)dx, đọc là “tích phân bất định” (hay “họ nguyên hàm”) của f(x). Muốn nắm chắc phần này, bạn nên biết trước đạo hàm và bảng công thức đạo hàm.

Tính chất cơ bản

• (∫f(x)dx)′ = f(x).
• ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx với k là hằng số khác 0.
• ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx.
• Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

Hàm số f(x)	∫f(x)dx	Điều kiện
0	C
1	x + C
xⁿ	xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1) + C	n ≠ −1
1/x	ln|x| + C	x ≠ 0
eˣ	eˣ + C
aˣ	aˣ ÷ ln a + C	a > 0, a ≠ 1
cos x	sin x + C
sin x	−cos x + C
1/cos²x	tan x + C	cos x ≠ 0
1/sin²x	−cot x + C	sin x ≠ 0

Với hàm có dạng f(ax + b), a ≠ 0, ta dùng công thức mở rộng: ∫f(ax + b)dx = (1/a)·F(ax + b) + C, trong đó F′ = f. Về cách nhớ các hàm sin, cos, bạn xem bảng công thức lượng giác.

Các phương pháp thường dùng

1. Dùng bảng và tính chất

Biến đổi biểu thức (khai triển, rút gọn, tách phân thức) về tổng các hàm trong bảng. Khi cần khai triển, các hằng đẳng thức đáng nhớ giúp làm nhanh hơn.

2. Đổi biến số

Nếu ∫f(x)dx có dạng ∫g(u(x))·u′(x)dx, đặt u = u(x), du = u′(x)dx, ta được ∫g(u)du. Tính xong nhớ thay u trở lại theo x.

3. Phương pháp từng phần

Công thức: ∫u dv = u·v − ∫v du. Thường chọn u theo thứ tự ưu tiên: hàm lôgarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ (quy tắc “log – đa – lượng – mũ”); phần còn lại là dv sao cho dễ tìm v.

Ví dụ có lời giải từng bước

Ví dụ 1. Tìm ∫(3x² + 2x − 1)dx.

Lời giải: ∫3x²dx = x³; ∫2x dx = x²; ∫1 dx = x. Vậy kết quả là x³ + x² − x + C. Kiểm tra: (x³ + x² − x)′ = 3x² + 2x − 1 ✓.

Ví dụ 2. Tìm ∫√x dx.

Lời giải: √x = x^1/2 nên ∫x^1/2dx = x^3/2 ÷ (3/2) + C = (2/3)·x√x + C. Cần nhớ tính chất của số mũ ở bài lũy thừa.

Ví dụ 3. Tìm ∫cos 2x dx và ∫e^3xdx.

Lời giải: Dùng công thức mở rộng với a = 2 và a = 3: ∫cos 2x dx = (1/2)·sin 2x + C; ∫e^3xdx = (1/3)·e^3x + C.

Ví dụ 4. Tìm ∫1/(2x + 1) dx.

Lời giải: Với a = 2: ∫1/(2x + 1) dx = (1/2)·ln|2x + 1| + C.

Ví dụ 5 (đổi biến). Tìm ∫2x(x² + 1)³dx.

Lời giải: Đặt u = x² + 1 ⇒ du = 2x dx. Khi đó tích phân thành ∫u³du = u⁴/4 + C. Thay lại: (x² + 1)⁴/4 + C.

Ví dụ 6 (từng phần). Tìm ∫x·eˣdx.

Lời giải: Đặt u = x ⇒ du = dx; dv = eˣdx ⇒ v = eˣ. Khi đó ∫x·eˣdx = x·eˣ − ∫eˣdx = x·eˣ − eˣ + C = (x − 1)eˣ + C.

Ví dụ 7. Tìm F(x) biết F′(x) = 2x + 3 và F(1) = 5.

Lời giải: F(x) = x² + 3x + C. Từ F(1) = 1 + 3 + C = 5 suy ra C = 1. Vậy F(x) = x² + 3x + 1.

Liên hệ với tích phân xác định

Khi đã có F(x), tích phân xác định tính bằng công thức Newton – Leibniz: ∫_a^bf(x)dx = F(b) − F(a). Ví dụ ∫₁²(2x + 1)dx = [x² + x] từ 1 đến 2 = (4 + 2) − (1 + 1) = 4. Khi tính tích phân xác định, ta không cần cộng hằng số C.

Sai lầm thường gặp

• Quên cộng hằng số C khi tìm ∫f(x)dx.
• Dùng công thức xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1) cho n = −1 (trường hợp này phải dùng ln|x|).
• Quên chia cho hệ số a khi tính ∫f(ax + b)dx.
• Nhầm dấu: ∫sin x dx = −cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C.
• Không kiểm tra lại bằng cách lấy đạo hàm kết quả.

Câu hỏi thường gặp

Nguyên hàm và đạo hàm khác nhau thế nào?

Đạo hàm đi từ hàm F(x) tìm ra F′(x), còn nguyên hàm đi ngược lại: biết f(x) tìm F(x) sao cho F′(x) = f(x). Đạo hàm của một hàm là duy nhất, còn kết quả của phép ngược là cả một họ hàm sai khác hằng số.

Vì sao có hằng số C?

Vì đạo hàm của hằng số bằng 0, nên nếu F′(x) = f(x) thì (F(x) + C)′ cũng bằng f(x) với mọi hằng số C.

Nguyên hàm của 1/x là gì?

Là ln|x| + C, với x ≠ 0. Dấu giá trị tuyệt đối giúp công thức đúng cả khi x âm.

Nguyên hàm học ở lớp mấy?

Chủ đề này cùng tích phân nằm trong chương trình Toán lớp 12, thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán 12 – chương trình giáo dục phổ thông Việt Nam