Đạo hàm là gì? Bảng công thức đạo hàm và ví dụ

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x₀ là giới hạn f′(x₀) = lim_x→x₀ [f(x) − f(x₀)] ÷ (x − x₀), nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn. Về hình học, đó là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x₀; về vật lý, đó là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng.

Đạo hàm là gì?

Nói đơn giản, f′(x) cho biết hàm số thay đổi nhanh hay chậm khi biến số x thay đổi một lượng rất nhỏ. Ký hiệu thường gặp: f′(x), y′ hoặc dy/dx. Chương trình Toán 11 (và ôn tập Toán 12) của Việt Nam định nghĩa khái niệm này bằng giới hạn, sau đó đưa ra bảng công thức và các quy tắc để tính nhanh, không cần dùng định nghĩa mỗi lần.

Ví dụ theo định nghĩa. Cho f(x) = x². Tính f′(3).

Lời giải: f′(3) = lim_x→3 (x² − 9) ÷ (x − 3) = lim_x→3 (x + 3) = 6.

Ý nghĩa của đạo hàm

• Hình học: f′(x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến tại M(x₀; f(x₀)). Phương trình tiếp tuyến: y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀).
• Vật lý: nếu s = s(t) là quãng đường thì vận tốc tức thời v(t) = s′(t), gia tốc a(t) = v′(t).
• Khảo sát hàm số: f′(x) > 0 thì hàm đồng biến, f′(x) < 0 thì nghịch biến; đổi dấu của f′ cho ta cực trị.

Bảng công thức đạo hàm cơ bản

Hàm số	y′	Ghi chú
y = c (hằng số)	y′ = 0
y = x	y′ = 1
y = xⁿ	y′ = n·xⁿ⁻¹	n là số nguyên dương (mở rộng cho số mũ thực với x > 0)
y = √x	y′ = 1 ÷ (2√x)	x > 0
y = 1/x	y′ = −1/x²	x ≠ 0
y = sin x	y′ = cos x
y = cos x	y′ = −sin x
y = tan x	y′ = 1/cos²x	cos x ≠ 0
y = cot x	y′ = −1/sin²x	sin x ≠ 0
y = eˣ	y′ = eˣ
y = aˣ	y′ = aˣ·ln a	a > 0, a ≠ 1
y = ln x	y′ = 1/x	x > 0
y = logax	y′ = 1 ÷ (x·ln a)	x > 0, a > 0, a ≠ 1

Nếu cần nhớ lại các hàm sin, cos, tan, bạn xem thêm công thức lượng giác đầy đủ; để hiểu rõ biến và tập xác định, xem hàm số là gì.

Các quy tắc tính đạo hàm

• Tổng, hiệu: (u ± v)′ = u′ ± v′
• Hằng số nhân: (k·u)′ = k·u′
• Tích: (u·v)′ = u′v + uv′
• Thương: (u/v)′ = (u′v − uv′) ÷ v² (v ≠ 0)
• Hàm hợp: nếu y = f(u) và u = g(x) thì y′_x = y′_u · u′_x

Ví dụ có lời giải từng bước

Ví dụ 1. Cho y = x³ − 3x² + 2x − 5. Tính y′ và y′(2).

Lời giải: Dùng quy tắc tổng và (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹: y′ = 3x² − 6x + 2. Thay x = 2: y′(2) = 3·4 − 12 + 2 = 2.

Ví dụ 2 (quy tắc tích). y = (x² + 1)(x − 3).

Lời giải: u = x² + 1 ⇒ u′ = 2x; v = x − 3 ⇒ v′ = 1. Vậy y′ = 2x(x − 3) + (x² + 1)·1 = 2x² − 6x + x² + 1 = 3x² − 6x + 1.

Ví dụ 3 (quy tắc thương). y = (2x + 1) ÷ (x − 1), x ≠ 1.

Lời giải: u = 2x + 1 ⇒ u′ = 2; v = x − 1 ⇒ v′ = 1. y′ = [2(x − 1) − (2x + 1)·1] ÷ (x − 1)² = (2x − 2 − 2x − 1) ÷ (x − 1)² = −3 ÷ (x − 1)².

Ví dụ 4 (hàm hợp). y = sin(3x²).

Lời giải: Đặt u = 3x² ⇒ u′ = 6x. y′ = cos u · u′ = 6x·cos(3x²).

Ví dụ 5. y = ln(x² + 1).

Lời giải: (ln u)′ = u′ ÷ u với u = x² + 1, u′ = 2x. Vậy y′ = 2x ÷ (x² + 1).

Ví dụ 6 (tiếp tuyến). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = x² tại điểm có hoành độ x₀ = 1.

Lời giải: y₀ = 1; y′ = 2x ⇒ y′(1) = 2. Phương trình: y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1.

Ví dụ 7 (cực trị). Tìm cực trị của y = x³ − 3x.

Lời giải: y′ = 3x² − 3 = 0 ⇒ x = −1 hoặc x = 1. y′ > 0 khi x < −1 hoặc x > 1, y′ < 0 khi −1 < x < 1. Vậy hàm đạt cực đại tại x = −1 với y = 2 và đạt cực tiểu tại x = 1 với y = −2.

Ví dụ 8 (vật lý). Một vật chuyển động có s(t) = t² + 2t (s tính bằng m, t tính bằng giây). Vận tốc tại t = 3 s là bao nhiêu?

Lời giải: v(t) = s′(t) = 2t + 2 ⇒ v(3) = 8 (m/s).

Lưu ý và sai lầm thường gặp

• (uv)′ không bằng u′·v′; phải dùng u′v + uv′.
• Quên nhân với u′ khi gặp hàm hợp, ví dụ (sin 3x)′ = 3cos 3x chứ không phải cos 3x.
• Nhầm dấu ở (cos x)′ = −sin x và (cot x)′ = −1/sin²x.
• Tính y′ tại điểm nằm ngoài tập xác định, hoặc bỏ qua điều kiện của mẫu số.
• (c)′ = 0 với c là hằng số, nhưng (aˣ)′ = aˣ ln a với a là hằng số, không phải bằng 0 hay x·aˣ⁻¹.

Phép toán ngược của đạo hàm là tìm nguyên hàm, mời bạn xem nguyên hàm là gì và cách tìm. Với lũy thừa, mẹo nhớ các tính chất nằm trong bài lũy thừa là gì.

Câu hỏi thường gặp

Đạo hàm học ở lớp mấy?

Đạo hàm được học trong chương trình Toán lớp 11 (ngay sau phần giới hạn), sau đó dùng rất nhiều ở lớp 12 để khảo sát hàm số, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Đạo hàm của hàm số hợp tính thế nào?

Áp dụng quy tắc dây chuyền: y′ = f′(u)·u′. Nghĩa là lấy f′ của hàm ngoài theo u, rồi nhân với u′ của hàm trong theo x.

f′(x₀) = 0 thì x₀ có luôn là cực trị không?

Không. Điểm có f′(x₀) = 0 chỉ là điểm nghi ngờ cực trị. Phải xét dấu f′ đổi dấu khi đi qua x₀ thì mới là cực trị. Ví dụ y = x³ có y′(0) = 0 nhưng không có cực trị.

Đạo hàm cấp hai là gì?

Là đạo hàm của f′(x), ký hiệu f″(x) hoặc y″. Ví dụ y = x³ thì y′ = 3x², y″ = 6x. Trong vật lý, gia tốc là đạo hàm cấp hai của quãng đường theo thời gian.

Nguồn tham khảo

• Sách giáo khoa Toán 11 – chương trình giáo dục phổ thông Việt Nam