Công thức tính diện tích hình thoi kèm ví dụ

Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo: S = (d₁ × d₂) : 2. Ngoài ra có thể tính bằng cạnh nhân chiều cao (S = a × h) hoặc S = a² × sin α. Ví dụ hình thoi có hai đường chéo 12 cm và 16 cm có diện tích (12 × 16) : 2 = 96 cm².

Hình thoi là gì? Tính chất cần nhớ

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Hình thoi cũng là hình bình hành đặc biệt. Các tính chất thường dùng khi tính diện tích:

• Hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Mỗi đường chéo là đường phân giác của hai góc ở hai đỉnh nó đi qua.
• Các cặp góc đối bằng nhau; hai góc kề bù nhau (tổng 180°).
• Hai đường chéo chia hình thoi thành 4 tam giác vuông bằng nhau.

Công thức tính diện tích hình thoi

Cách 1: theo hai đường chéo

S = (d₁ × d₂) : 2, với d₁ và d₂ là độ dài hai đường chéo. Lý do: hai đường chéo chia hình thoi thành 4 tam giác vuông, mỗi tam giác có hai cạnh góc vuông là d₁/2 và d₂/2 nên diện tích mỗi tam giác là (d₁/2 × d₂/2) : 2 = d₁d₂ : 8. Bốn tam giác cho tổng 4 × d₁d₂ : 8 = d₁d₂ : 2.

Cách 2: theo cạnh và chiều cao

S = a × h, với a là độ dài cạnh và h là chiều cao hạ từ một đỉnh xuống cạnh đối diện (hình thoi là hình bình hành nên dùng được công thức đáy nhân chiều cao).

Cách 3: theo cạnh và một góc

S = a² × sin α, với α là số đo một góc bất kỳ của hình thoi (sin α = sin(180° − α) nên chọn góc nào cũng được). Công thức này thường dùng ở Toán lớp 9 trở lên khi đã học hệ thức cạnh và góc trong tam giác vuông.

Chu vi hình thoi

Vì bốn cạnh bằng nhau nên P = 4a (giống chu vi hình vuông). Biết hai đường chéo thì cạnh tính theo Py-ta-go: a = √((d₁/2)² + (d₂/2)²).

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hình thoi ABCD có AC = 12 cm, BD = 16 cm. Tính diện tích, cạnh và chu vi.

Lời giải: S = (12 × 16) : 2 = 192 : 2 = 96 (cm²). Hai đường chéo cắt nhau tại O, vuông góc, OA = 6 cm, OB = 8 cm. Cạnh AB = √(6² + 8²) = √100 = 10 (cm). Chu vi P = 4 × 10 = 40 (cm). Chiều cao h = S : a = 96 : 10 = 9,6 (cm).

Ví dụ 2. Hình thoi có cạnh 10 cm, chiều cao 8 cm. Tính diện tích.

Lời giải: S = a × h = 10 × 8 = 80 (cm²).

Ví dụ 3. Hình thoi có cạnh 6 cm và một góc 30°. Tính diện tích.

Lời giải: S = 6² × sin 30° = 36 × 0,5 = 18 (cm²).

Ví dụ 4. Hình thoi có cạnh 8 cm và góc 60°. Tính diện tích (làm tròn hai chữ số thập phân).

Lời giải: S = 8² × sin 60° = 64 × (√3 : 2) = 32√3 ≈ 55,43 (cm²).

Ví dụ 5. Diện tích hình thoi là 60 cm², một đường chéo dài 10 cm. Tìm đường chéo còn lại.

Lời giải: S = (d₁ × d₂) : 2 nên d₂ = 2S : d₁ = 2 × 60 : 10 = 12 (cm).

Bảng tính nhanh theo hai đường chéo

d₁	d₂	Diện tích S = d₁ × d₂ : 2	Cạnh a = √((d₁/2)² + (d₂/2)²)	Chu vi P = 4a
4	6	12	3,61	14,42
6	8	24	5	20
10	12	60	7,81	31,24
12	16	96	10	40
15	20	150	12,5	50
24	10	120	13	52

Lưu ý: hình thoi có hai đường chéo bằng nhau chính là hình vuông. Khi đó d₁ = d₂ = a√2 và công thức đường chéo cho S = (a√2 × a√2) : 2 = a², khớp với công thức diện tích hình vuông.

Ứng dụng thực tế

• Tính diện tích gạch lát hình thoi, họa tiết trang trí, cánh diều.
• Tính diện tích mảnh vải, tấm kính, logo hình thoi.
• Ở vật lý và kỹ thuật, hình thoi xuất hiện trong cơ cấu kéo cắt (kích nâng ô tô, giá đỡ xếp).

Sai lầm thường gặp

• Quên chia 2 khi dùng công thức hai đường chéo, ra kết quả gấp đôi.
• Nhầm chiều cao h với độ dài cạnh bên. Chiều cao là đoạn vuông góc, thường nhỏ hơn cạnh.
• Dùng nhầm S = a² (chỉ đúng cho hình vuông) cho hình thoi bất kỳ.
• Không đổi cùng đơn vị cho hai đường chéo trước khi nhân.

Liên hệ với các hình khác

Khi chia hình thoi theo một đường chéo, ta được hai tam giác cân; nếu góc giữa hai cạnh bằng 60° thì đó là hai tam giác đều, và S = 2 × (a²√3 : 4) = a²√3 : 2, đúng bằng công thức a² × sin 60°. Ví dụ a = 8 cho S = 64√3 : 2 = 32√3 cm², khớp với Ví dụ 4.

Câu hỏi thường gặp

Công thức tính diện tích hình thoi là gì?

S = (d₁ × d₂) : 2 với d₁, d₂ là hai đường chéo. Cũng có thể dùng S = a × h hoặc S = a² × sin α.

Tính diện tích hình thoi khi biết cạnh và chiều cao như thế nào?

Nhân cạnh với chiều cao: S = a × h. Ví dụ cạnh 10 cm, chiều cao 8 cm thì S = 80 cm².

Diện tích hình thoi có bằng một nửa hình chữ nhật bao ngoài không?

Có. Hình chữ nhật bao quanh hình thoi có hai kích thước bằng hai đường chéo, diện tích d₁ × d₂. Hình thoi chiếm đúng một nửa nên S = (d₁ × d₂) : 2.

Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau thì tính diện tích ra sao?

Đó là hình vuông. Diện tích S = d² : 2 hoặc S = a², với d = a√2. Ví dụ d = 10 cm thì S = 50 cm².

Biết diện tích và một đường chéo, tìm đường chéo còn lại thế nào?

Lấy 2S chia cho đường chéo đã biết: d₂ = 2S : d₁.

Nguồn tham khảo

• Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2018)