Số thực là gì? Kí hiệu ℝ, phân loại và ví dụ

Số thực là tên gọi chung của số hữu tỉ và số vô tỉ; tập hợp các số thực được kí hiệu là ℝ. Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số và ngược lại, mỗi điểm trên trục số ứng với đúng một số thực.

Định nghĩa số thực

Trong chương trình toán phổ thông ở Việt Nam, số thực gồm hai nhóm:

• Số hữu tỉ: số viết được dưới dạng phân số ^a⁄_b với a, b là số nguyên, b ≠ 0. Số hữu tỉ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. Xem thêm số hữu tỉ là loại số gì.
• Số vô tỉ: số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn, chẳng hạn √2 ≈ 1,41421… và π ≈ 3,14159… Chi tiết ở bài số vô tỉ là gì, cách nhận biết.

Mối quan hệ giữa các tập số

Các tập số được lồng vào nhau: tập số tự nhiên ℕ nằm trong tập số nguyên ℤ, tập ℤ nằm trong tập số hữu tỉ ℚ, và ℚ nằm trong tập số thực ℝ. Ta viết ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Số vô tỉ (thường kí hiệu I) cùng với ℚ hợp thành ℝ, và hai tập ℚ, I không có phần tử chung.

Số	ℕ	ℤ	ℚ	Số vô tỉ	ℝ
5	có	có	có	không	có
−3	không	có	có	không	có
2/5 = 0,4	không	không	có	không	có
1/3 = 0,(3)	không	không	có	không	có
√2	không	không	không	có	có
π	không	không	không	có	có
√16 = 4	có	có	có	không	có

Chú ý √16 = 4 là số tự nhiên, không phải số vô tỉ, dù có dấu căn. Dấu căn chưa cho biết một số có phải số vô tỉ hay không.

Biểu diễn số thực trên trục số

Trục số là một đường thẳng có gốc 0, chiều dương và đơn vị dài. Mọi số thực đều có một vị trí duy nhất trên trục: số dương nằm bên phải gốc 0, số âm nằm bên trái. Từ đó, hai số thực bất kì luôn so sánh được: số nào nằm bên phải thì lớn hơn. Cách so sánh số nguyên theo thứ tự đã học ở lớp dưới, bạn có thể ôn lại ở bài thứ tự trong tập hợp các số nguyên.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Các số −5; 0,25; √3; √16; π thuộc tập nào?

• −5 là số nguyên âm nên thuộc ℤ, ℚ và ℝ.
• 0,25 = 1/4 là số thập phân hữu hạn nên thuộc ℚ và ℝ.
• √3 ≈ 1,732… là số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên là số vô tỉ, thuộc ℝ.
• √16 = 4 thuộc ℕ, ℤ, ℚ, ℝ.
• π ≈ 3,14159… là số vô tỉ, thuộc ℝ.

Ví dụ 2. So sánh √5 và 2,2.

• Bình phương hai số dương: (√5)² = 5, còn 2,2² = 4,84.
• Vì 5 > 4,84 nên √5 > 2,2. (Kiểm tra: √5 ≈ 2,236.)

Tính chất cơ bản của số thực

• Phép cộng và phép nhân có tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
• Mọi số thực a đều có số đối −a; mọi số thực khác 0 đều có số nghịch đảo 1/a.
• Giữa hai số thực khác nhau luôn có vô số số thực khác.
• Căn bậc hai số học chỉ xác định cho số không âm.

Số thực khác với số nguyên ở chỗ nó bao quát cả phần thập phân và số vô tỉ; bạn có thể xem bài số thực có khác với số nguyên không để thấy rõ hơn sự khác biệt này.

Câu hỏi thường gặp

Số thực gồm những số nào?

Gồm số hữu tỉ (số nguyên, phân số, số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn) và số vô tỉ (số thập phân vô hạn không tuần hoàn như √2, π).

Số 0 có phải số thực không?

Có. Số 0 là số nguyên, đồng thời là số hữu tỉ và số thực.

Số thực khác số hữu tỉ ở điểm nào?

Số hữu tỉ viết được dưới dạng phân số a/b (b ≠ 0), còn số thực gồm cả số hữu tỉ lẫn số vô tỉ không viết được dưới dạng phân số.

√(−4) có phải số thực không?

Không. Trong chương trình phổ thông, căn bậc hai của số âm không tồn tại trong tập số thực. Căn bậc hai số học chỉ xác định với số không âm.

Ký hiệu của tập số thực là gì?

Là ℝ. Quan hệ giữa các tập số là ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.